Физическое пространство

Материал из Alt-Sci
Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Самоподобие ) Содержание книги Следующая глава ( Физический вектор )

Соответствующая статья Википедии: Пространство

Мерность

«Мир хаотичен, в нем нет ничего незыблемого, в том числе и мерности. Мерность пространства во Вселенной колеблется, плавно меняется в весьма широких пределах. Наилучшим условием для возникновения органической жизни является мерность пространства, равная Пи (3,14159...). Значительные отклонения от этой величины пагубно действуют на живую природу. В настоящее время окрестности Солнечной системы имеют мерность +3,00017... и близость этого числа к целому числу 3 ввела вас в заблуждение»

(неизвестный автор)

Пространство – бесконечное множество точек, для которых определено расстояние между ними (метрика). Бесконечность множества не означает его неограниченность. Объекты перемещаются в пространстве от точки своего местоположения к ближайшей соседней точке.

Прямая – единственный кратчайший путь между двумя точками, проходящий через все промежуточные ближайшие точки, принадлежащие этой прямой.

Плоский угол – величина, выражающая взаимоположение двух прямых, пересекающихся в вершине угла. Величина угла имеет различные определения:

Радианы Комплексное число
Длина дуги единичной окружности \[\alpha\] \(\arctan\frac{\mathrm{Im}\;\alpha}{\mathrm{Re}\;\alpha}\)(аргумент комплексного числа)
Нулевой угол \[0\] \[1\]
Прямой угол \[\pi/2\] \[i\]
Развернутый угол \[\pi\] \[–1\]
Сумма углов \[\alpha+\beta\] \[\alpha\cdot\beta\]
Разность углов \[\alpha-\beta\] \[\alpha\cdot\overline{\beta}\]

Традиционная угловая мера происходит от древневавилонской 60-ричной арифметики и древнего календаря, где в году было 360 основных дней. Круглая астрономическая (астрологическая) карта небесной сферы, по которой Солнце совершает полный оборот в течение года, делилась на 360 угловых градусов, которые затем делились на 60 минут и секунд. В дальнейшем появилась научно обоснованная радианная мера, тем не менее, не избавляющая расчеты от сложной тригонометрии. И сравнительно недавно, в комплексных и матричных методах, в качестве угловой меры стали применять непосредственно величины синуса и косинуса, что сократило объем тригонометрических операций.

Треугольник – тройка точек-вершин, не лежащих на одной прямой, и лежащих на воображаемой плоскости. Выражение сторон \(a,b,c\) и соответственных им противолежащих углов \(\alpha,\beta,\gamma\), в виде комплексных чисел на этой плоскости, дает следующую запись известных свойств треугольника:

Выпуклость \[\mathrm{Im}\;\alpha>0,\;\;\;\mathrm{Im}\;\beta>0,\;\;\;\mathrm{Im}\;\gamma>0\]
Сумма углов \[\alpha\cdot\beta\cdot\gamma+1=0\]
Теорема синусов \[\frac{|a|}{\mathrm{Im}\;\alpha}=\frac{|b|}{\mathrm{Im}\;\beta}=\frac{|c|}{\mathrm{Im}\;\gamma}\]
Теорема косинусов \[|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|\mathrm{Re}\;\alpha\]
\(|a|^2=b\cdot\overline{b}+c\cdot\overline{c}-b\cdot\overline{c}-c\cdot\overline{b}\)

Перпендикулярные прямые – две пересекающиеся в точке A прямые, имеющие свойство: Любая пара точек, лежащих на разных прямых, вместе с точкой A всегда образует прямоугольный треугольник с прямым углом в точке A.

Целая мерность пространства – максимальное число ортогональных (взаимно перпендикулярных) прямых, пересекающихся в одной точке пространства. Строгие свойства перпендикулярных и параллельных прямых справедливы только для идеального пространства целой мерности (Евклида, Гильберта). Точка – 0D-пространство, прямая – 1D-пространство, плоскость – 2D-пространство.

Фигура или тело – подпространство, заданное условиями и относительными расстояниями между определенными точками. Мерность фигуры или тела по определению не превышает мерности пространства. Характеристический размер (далее просто размер) – число, определяющее абсолютные расстояния между точками.

Подобие фигур – равенство фигур с точностью до их размеров. Коэффициент подобия – отношение размеров.

Пересечение фигур – фигура, полученная пересечением множеств их точек. Мерность пересечения не превышает наименьшей мерности исходных фигур.

Поверхность фигуры – фигура меньшей мерности, ограничивающая объем данной фигуры.

Гиперсфера – простейшая основная фигура (тело) произвольной мерности – подмножество точек, находящихся на расстоянии не более радиуса от центра. Гиперсфера не привязана к ортогональным осям, и имеет бесконечное число осей симметрии. Пересечение неконцентрических гиперсферических поверхностей с наименьшей мерностью \(N\), является гиперсферической поверхностью мерностью \((N – 1)\) (отрицательные мерности приравниваются к нулю).

Мерность N Фигура Поверхность
0 Точка Точка
1 Отрезок Пара точек
2 Круг Окружность
3 Шар Сфера
N N-мерная гиперсфера N-мерная гиперсферическая поверхность

Гиперкуб – сложная фигура целой мерности, образованная равными ортогональными отрезками, и вписанная в гиперсферу. Куб – 3D-гиперкуб, квадрат – 2D-гиперкуб, отрезок – вырожденный 1D- гиперкуб.

Объем фигуры (тела) – число непересекающихся базовых фигур единичного объема мерности \(N\), полностью заполняющих данную фигуру мерности \(N\). Длина – 1D-объем, площадь – 2D-объем. В качестве базовой фигуры по традиции выбран гиперкуб. От выбора базовой фигуры зависят величины объемов, но не их пропорциональные отношения. Объем – функция мерности \(N\) и размера \(R\) с геометрическим коэффициентом \(C(N)\), который зависит от выбора базовой фигуры: \[V_N(R)=C(N)R^N\] Геометрия – «землемерение» по-гречески. Участки обрабатываемой земли имеют прямоугольную форму, и их площадь удобно измерять квадратными единицами, вошедшими в основы математики и физики как должные. В действительности, прямоугольные объекты в природе встречаются редко, в отличие от круглых объектов. При замене квадратных и кубических единиц на «круглые» и «сферические», объем гиперсферы диаметром \(D\) становится равным \(V_N=D^N\).

Вещественная мерность – число \(N\) в отношении объемов \(V_N\) двух подобных фигур с размерами \(R\) и \(R_0\): \[\frac{V_N(R)}{V_N(R_0)}=\left(\frac{R}{R_0}\right)^N\] \[N=\frac{\ln V_N(R)-\ln V_N(R_0)}{\ln R-\ln R_0}\] Дробные показатели степени не сразу стали общепризнанными, а иррациональный показатель степени не имеет арифметического определения. Также и дробная мерность пространства ждет своего признания. Все реальные физические величины непрерывны. Дискретизация – плод человеческого ума, называющего целые положительные числа натуральными (природными).

Самоподобие пространства – закон масштабируемости геометрии пространства произвольной мерности, то есть множество всех подобных фигур в нем бесконечно.

Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия в той или иной степени. Строится путем деления исходной фигуры на части и ее пропорционального повторения в этих частях рекуррентно. Например, построение отрезков ортогональных прямых по фрактальному принципу создает сетку 2D-пространства из бесконечного числа параллельно-перпендикулярных прямых:

Space 1.png

Дробная (фрактальная) мерность пространства – это нарушение строгой перпендикулярности и параллельности прямых цельномерного пространства. Согласно закону самоподобия, эта деформация фрактальна, то есть применяется к бесконечному ряду подпространств. Повышение целой мерности \(N\) на величину меньше 1, вызывает расщепление пространства на бесконечное множество подпространств мерности \(N\), не являющееся полноценной мерностью \((N+1)\).

Фракталы дробной мерности – наглядные изображения сущности пространств дробной мерности, строящиеся из ломаных линий и поверхностей с непрямыми углами. Например, кривая Коха строится делением исходной фигуры на 4 части и с уменьшением ее в 3 раза, создавая мерность \(N=\ln 4/\ln 3=1,26\).

Бесконечно делимая и искривляемая кривая не создает в пределе сплошную 2D-поверхность, но увеличивается в длине бесконечно, что означает появление новой размерности. Больше близких точек окружают объект в этом пространстве, и объект имеет больше альтернатив для перемещений, чем в прямолинейном 1D-пространстве.

Кривая дракона – другой пример фрактальной ломаной линии. Каждый отрезок сгибается пополам под прямым углом, уменьшаясь вдвое. Казалось бы, размерность кривой должна быть 1, но прямой угол и закручивание вызывают соединение отрезков в сетку ортогональных прямых. В пределе образуется сплошная 2D-поверхность, хотя и неправильной формы.
Однородное пространство – пространство, имеющее одинаковую мерность в отношении каждой его точки. Реальное физическое пространство неоднородно.

Пространство вселенной в среднем имеет мерность 3 или чуть больше, но не меньше, так как вещество не стабильно при мерности менее 3. Значительное отклонение мерности от этой величины несовместимо с органической жизнью.

Координаты

Реальные физические координаты – расстояния данной точки A до \(M\) точек отсчета в пространстве мерности \(N < M\). Этот метод позиционирования известен как трилатерация, применяемая в геодезии и радионавигации (GPS, ГЛОНАСС). Все другие координатные системы не абсолютны и производны. Точка A – пересечение \(M\) гиперсфер. Пример для 2D-пространства:

Space 4.png

Реальные координаты пространства целой мерности зависимы друг от друга, то есть на данном примере две окружности имеют две точки пересечения, а третья должна пересечь одну из них, имея только два допустимых радиуса. Если мерность пространства \(2 < N < 3\), то пересечение двух окружностей содержит более двух точек, и третья окружность имеет больше допустимых радиусов, однозначно определяя координаты. Все координатно-векторные операции выполнимы с помощью решения систем треугольников. Линейная алгебра бесполезна в случае пространства дробной мерности.

Еще один пример для 1D-пространства:

Space 5.png

На данном рисунке справа показан известный метод построения перпендикуляра, существующего лишь в 2D-пространстве и более. При мерности \(1\leq N<2\), две гиперсферы могут иметь лишь одну точку пересечения A.

Физическое пространство имеет абсолютную систему отсчета, относительно которой определены абсолютные линейные скорости всех объектов.

Единицы площади и объема

Для традиционных (гиперкубических) единиц площади и объема известны формулы объема \(V_N(R)\) и поверхности \(S_N(R)\) гиперсферы: \[V_N(R)=C(N)R^N\] \[S_N(R)=\frac{\mathrm{d}V_N (R)}{\mathrm{d}R}=NC(N)R^{N-1}\] \[C(2N)=\frac{\pi^N}{N!},\;\;\;\;\;C(2N+1)=\frac{2^{N+1}\pi^N}{(2N+1)!!}\]

Мерность N Фигура Объем Поверхность Углы
1 Отрезок \[2R\] два направления
2 Круг \[\pi R^2\] \[2\pi R\] \(2\pi\) радиан
3 Шар \[\frac{4}{3}\pi R^3\] \[4\pi R^2\] \(4\pi\) стерадиан
4 4D-гиперсфера \[\frac{1}{2}\pi^2R^4\] \[2\pi^2R^3\]

Коэффициент \(C(N)\) имеет также определение через гамма-функцию Эйлера с вещественным аргументом: \[C(N)=\frac{\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2+1)},\;\;\;\;\;\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}{t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t}\] Применение гиперсферических единиц для объема и площади изменяет интегральное исчисление и формулы объема и поверхности: \[V_N(R)=(2R)^N\] \[S_N(R)=X(N)(2R)^{N-1}\neq\frac{\mathrm{d}V_N(R)}{\mathrm{d}R}\] Величина \(X(N)\) ищется из ряда условий:

  • Длина окружности или «поверхность круга» в этом случае также равна \(2\pi R\).
  • Отношение площади поверхности сферы к площади круга того же радиуса равно \(4\).
  • Отношение площади поверхности 4D-гиперсферы к площади сферы того же радиуса равно \(3\pi⁄2\).

Этим условиям удовлетворяет такое решение: \[S_N(R)=N\frac{C(N)}{C(N-1)}(2R)^{N-1}\]

Мерность Фигура Объем Поверхность
1 Отрезок \[D\]
2 Круг \[D^2\] \[\pi D\]
3 Шар \[D^3\] \[4D^2\]
4 4D-гиперсфера \[D^4\] \[\frac{3\pi}{2}D^3\]
\(D\) – диаметр.

Объем эллипсоида в гиперсферических единицах – произведение его диаметров.

При кратном интегрировании в гиперсферических единицах, необходимо делать поправки:

  • Двойной интеграл. Отношение площади квадрата к площади вписанного в него круга, равное \(4/\pi\).
  • Тройной интеграл. Отношение объема куба к объему вписанного в него шара, равное \(6/\pi\).

Предыдущая глава ( Самоподобие ) Содержание книги Следующая глава ( Физический вектор )