Физическое пространство
Предыдущая глава ( Самоподобие ) | Содержание книги | Следующая глава ( Физический вектор ) |
Соответствующая статья Википедии: Пространство
Мерность
«Мир хаотичен, в нем нет ничего незыблемого, в том числе и мерности. Мерность пространства во Вселенной колеблется, плавно меняется в весьма широких пределах. Наилучшим условием для возникновения органической жизни является мерность пространства, равная Пи (3,14159...). Значительные отклонения от этой величины пагубно действуют на живую природу. В настоящее время окрестности Солнечной системы имеют мерность +3,00017... и близость этого числа к целому числу 3 ввела вас в заблуждение»
(неизвестный автор)
Пространство – бесконечное множество точек, для которых определено расстояние между ними (метрика). Бесконечность множества не означает его неограниченность. Объекты перемещаются в пространстве от точки своего местоположения к ближайшей соседней точке.
Прямая – единственный кратчайший путь между двумя точками, проходящий через все промежуточные ближайшие точки, принадлежащие этой прямой.
Плоский угол – величина, выражающая взаимоположение двух прямых, пересекающихся в вершине угла. Величина угла имеет различные определения:
- Традиционные радианы, градусы, обороты и т.д. – длина дуги сектора окружности.
- Косинус и синус угла – пара зависимых чисел, которую можно выразить одним комплексным числом с единичным модулем по формуле Эйлера \(e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha\).
Радианы | Комплексное число | |
---|---|---|
Длина дуги единичной окружности | \[\alpha\] | \(\arctan\frac{\mathrm{Im}\;\alpha}{\mathrm{Re}\;\alpha}\)(аргумент комплексного числа) |
Нулевой угол | \[0\] | \[1\] |
Прямой угол | \[\pi/2\] | \[i\] |
Развернутый угол | \[\pi\] | \[–1\] |
Сумма углов | \[\alpha+\beta\] | \[\alpha\cdot\beta\] |
Разность углов | \[\alpha-\beta\] | \[\alpha\cdot\overline{\beta}\] |
Традиционная угловая мера происходит от древневавилонской 60-ричной арифметики и древнего календаря, где в году было 360 основных дней. Круглая астрономическая (астрологическая) карта небесной сферы, по которой Солнце совершает полный оборот в течение года, делилась на 360 угловых градусов, которые затем делились на 60 минут и секунд. В дальнейшем появилась научно обоснованная радианная мера, тем не менее, не избавляющая расчеты от сложной тригонометрии. И сравнительно недавно, в комплексных и матричных методах, в качестве угловой меры стали применять непосредственно величины синуса и косинуса, что сократило объем тригонометрических операций.
Треугольник – тройка точек-вершин, не лежащих на одной прямой, и лежащих на воображаемой плоскости. Выражение сторон \(a,b,c\) и соответственных им противолежащих углов \(\alpha,\beta,\gamma\), в виде комплексных чисел на этой плоскости, дает следующую запись известных свойств треугольника:
Выпуклость | \[\mathrm{Im}\;\alpha>0,\;\;\;\mathrm{Im}\;\beta>0,\;\;\;\mathrm{Im}\;\gamma>0\] |
Сумма углов | \[\alpha\cdot\beta\cdot\gamma+1=0\] |
Теорема синусов | \[\frac{|a|}{\mathrm{Im}\;\alpha}=\frac{|b|}{\mathrm{Im}\;\beta}=\frac{|c|}{\mathrm{Im}\;\gamma}\] |
Теорема косинусов | \[|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|\mathrm{Re}\;\alpha\] \(|a|^2=b\cdot\overline{b}+c\cdot\overline{c}-b\cdot\overline{c}-c\cdot\overline{b}\) |
Перпендикулярные прямые – две пересекающиеся в точке A прямые, имеющие свойство: Любая пара точек, лежащих на разных прямых, вместе с точкой A всегда образует прямоугольный треугольник с прямым углом в точке A.
Целая мерность пространства – максимальное число ортогональных (взаимно перпендикулярных) прямых, пересекающихся в одной точке пространства. Строгие свойства перпендикулярных и параллельных прямых справедливы только для идеального пространства целой мерности (Евклида, Гильберта). Точка – 0D-пространство, прямая – 1D-пространство, плоскость – 2D-пространство.
Фигура или тело – подпространство, заданное условиями и относительными расстояниями между определенными точками. Мерность фигуры или тела по определению не превышает мерности пространства. Характеристический размер (далее просто размер) – число, определяющее абсолютные расстояния между точками.
Подобие фигур – равенство фигур с точностью до их размеров. Коэффициент подобия – отношение размеров.
Пересечение фигур – фигура, полученная пересечением множеств их точек. Мерность пересечения не превышает наименьшей мерности исходных фигур.
Поверхность фигуры – фигура меньшей мерности, ограничивающая объем данной фигуры.
Гиперсфера – простейшая основная фигура (тело) произвольной мерности – подмножество точек, находящихся на расстоянии не более радиуса от центра. Гиперсфера не привязана к ортогональным осям, и имеет бесконечное число осей симметрии. Пересечение неконцентрических гиперсферических поверхностей с наименьшей мерностью \(N\), является гиперсферической поверхностью мерностью \((N – 1)\) (отрицательные мерности приравниваются к нулю).
Мерность N | Фигура | Поверхность |
---|---|---|
0 | Точка | Точка |
1 | Отрезок | Пара точек |
2 | Круг | Окружность |
3 | Шар | Сфера |
N | N-мерная гиперсфера | N-мерная гиперсферическая поверхность |
Гиперкуб – сложная фигура целой мерности, образованная равными ортогональными отрезками, и вписанная в гиперсферу. Куб – 3D-гиперкуб, квадрат – 2D-гиперкуб, отрезок – вырожденный 1D- гиперкуб.
Объем фигуры (тела) – число непересекающихся базовых фигур единичного объема мерности \(N\), полностью заполняющих данную фигуру мерности \(N\). Длина – 1D-объем, площадь – 2D-объем. В качестве базовой фигуры по традиции выбран гиперкуб. От выбора базовой фигуры зависят величины объемов, но не их пропорциональные отношения. Объем – функция мерности \(N\) и размера \(R\) с геометрическим коэффициентом \(C(N)\), который зависит от выбора базовой фигуры: \[V_N(R)=C(N)R^N\] Геометрия – «землемерение» по-гречески. Участки обрабатываемой земли имеют прямоугольную форму, и их площадь удобно измерять квадратными единицами, вошедшими в основы математики и физики как должные. В действительности, прямоугольные объекты в природе встречаются редко, в отличие от круглых объектов. При замене квадратных и кубических единиц на «круглые» и «сферические», объем гиперсферы диаметром \(D\) становится равным \(V_N=D^N\).
Вещественная мерность – число \(N\) в отношении объемов \(V_N\) двух подобных фигур с размерами \(R\) и \(R_0\): \[\frac{V_N(R)}{V_N(R_0)}=\left(\frac{R}{R_0}\right)^N\] \[N=\frac{\ln V_N(R)-\ln V_N(R_0)}{\ln R-\ln R_0}\] Дробные показатели степени не сразу стали общепризнанными, а иррациональный показатель степени не имеет арифметического определения. Также и дробная мерность пространства ждет своего признания. Все реальные физические величины непрерывны. Дискретизация – плод человеческого ума, называющего целые положительные числа натуральными (природными).
Самоподобие пространства – закон масштабируемости геометрии пространства произвольной мерности, то есть множество всех подобных фигур в нем бесконечно.
Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия в той или иной степени. Строится путем деления исходной фигуры на части и ее пропорционального повторения в этих частях рекуррентно. Например, построение отрезков ортогональных прямых по фрактальному принципу создает сетку 2D-пространства из бесконечного числа параллельно-перпендикулярных прямых:
Дробная (фрактальная) мерность пространства – это нарушение строгой перпендикулярности и параллельности прямых цельномерного пространства. Согласно закону самоподобия, эта деформация фрактальна, то есть применяется к бесконечному ряду подпространств. Повышение целой мерности \(N\) на величину меньше 1, вызывает расщепление пространства на бесконечное множество подпространств мерности \(N\), не являющееся полноценной мерностью \((N+1)\).
Фракталы дробной мерности – наглядные изображения сущности пространств дробной мерности, строящиеся из ломаных линий и поверхностей с непрямыми углами. Например, кривая Коха строится делением исходной фигуры на 4 части и с уменьшением ее в 3 раза, создавая мерность \(N=\ln 4/\ln 3=1,26\).
Бесконечно делимая и искривляемая кривая не создает в пределе сплошную 2D-поверхность, но увеличивается в длине бесконечно, что означает появление новой размерности. Больше близких точек окружают объект в этом пространстве, и объект имеет больше альтернатив для перемещений, чем в прямолинейном 1D-пространстве.
Кривая дракона – другой пример фрактальной ломаной линии. Каждый отрезок сгибается пополам под прямым углом, уменьшаясь вдвое. Казалось бы, размерность кривой должна быть 1, но прямой угол и закручивание вызывают соединение отрезков в сетку ортогональных прямых. В пределе образуется сплошная 2D-поверхность, хотя и неправильной формы.
Однородное пространство – пространство, имеющее одинаковую мерность в отношении каждой его точки. Реальное физическое пространство неоднородно.
Пространство вселенной в среднем имеет мерность 3 или чуть больше, но не меньше, так как вещество не стабильно при мерности менее 3. Значительное отклонение мерности от этой величины несовместимо с органической жизнью.
Координаты
Реальные физические координаты – расстояния данной точки A до \(M\) точек отсчета в пространстве мерности \(N < M\). Этот метод позиционирования известен как трилатерация, применяемая в геодезии и радионавигации (GPS, ГЛОНАСС). Все другие координатные системы не абсолютны и производны. Точка A – пересечение \(M\) гиперсфер. Пример для 2D-пространства:
Реальные координаты пространства целой мерности зависимы друг от друга, то есть на данном примере две окружности имеют две точки пересечения, а третья должна пересечь одну из них, имея только два допустимых радиуса. Если мерность пространства \(2 < N < 3\), то пересечение двух окружностей содержит более двух точек, и третья окружность имеет больше допустимых радиусов, однозначно определяя координаты. Все координатно-векторные операции выполнимы с помощью решения систем треугольников. Линейная алгебра бесполезна в случае пространства дробной мерности.
Еще один пример для 1D-пространства:
На данном рисунке справа показан известный метод построения перпендикуляра, существующего лишь в 2D-пространстве и более. При мерности \(1\leq N<2\), две гиперсферы могут иметь лишь одну точку пересечения A.
Физическое пространство имеет абсолютную систему отсчета, относительно которой определены абсолютные линейные скорости всех объектов.
Единицы площади и объема
Для традиционных (гиперкубических) единиц площади и объема известны формулы объема \(V_N(R)\) и поверхности \(S_N(R)\) гиперсферы: \[V_N(R)=C(N)R^N\] \[S_N(R)=\frac{\mathrm{d}V_N (R)}{\mathrm{d}R}=NC(N)R^{N-1}\] \[C(2N)=\frac{\pi^N}{N!},\;\;\;\;\;C(2N+1)=\frac{2^{N+1}\pi^N}{(2N+1)!!}\]
Мерность N | Фигура | Объем | Поверхность | Углы |
---|---|---|---|---|
1 | Отрезок | \[2R\] | два направления | |
2 | Круг | \[\pi R^2\] | \[2\pi R\] | \(2\pi\) радиан |
3 | Шар | \[\frac{4}{3}\pi R^3\] | \[4\pi R^2\] | \(4\pi\) стерадиан |
4 | 4D-гиперсфера | \[\frac{1}{2}\pi^2R^4\] | \[2\pi^2R^3\] |
Коэффициент \(C(N)\) имеет также определение через гамма-функцию Эйлера с вещественным аргументом: \[C(N)=\frac{\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2+1)},\;\;\;\;\;\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}{t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t}\] Применение гиперсферических единиц для объема и площади изменяет интегральное исчисление и формулы объема и поверхности: \[V_N(R)=(2R)^N\] \[S_N(R)=X(N)(2R)^{N-1}\neq\frac{\mathrm{d}V_N(R)}{\mathrm{d}R}\] Величина \(X(N)\) ищется из ряда условий:
- Длина окружности или «поверхность круга» в этом случае также равна \(2\pi R\).
- Отношение площади поверхности сферы к площади круга того же радиуса равно \(4\).
- Отношение площади поверхности 4D-гиперсферы к площади сферы того же радиуса равно \(3\pi⁄2\).
Этим условиям удовлетворяет такое решение: \[S_N(R)=N\frac{C(N)}{C(N-1)}(2R)^{N-1}\]
Мерность | Фигура | Объем | Поверхность |
---|---|---|---|
1 | Отрезок | \[D\] | |
2 | Круг | \[D^2\] | \[\pi D\] |
3 | Шар | \[D^3\] | \[4D^2\] |
4 | 4D-гиперсфера | \[D^4\] | \[\frac{3\pi}{2}D^3\] |
\(D\) – диаметр. |
Объем эллипсоида в гиперсферических единицах – произведение его диаметров.
При кратном интегрировании в гиперсферических единицах, необходимо делать поправки:
- Двойной интеграл. Отношение площади квадрата к площади вписанного в него круга, равное \(4/\pi\).
- Тройной интеграл. Отношение объема куба к объему вписанного в него шара, равное \(6/\pi\).
Предыдущая глава ( Самоподобие ) | Содержание книги | Следующая глава ( Физический вектор ) |