Физическое поле
| Предыдущая глава ( Физический вектор ) | Содержание книги | Следующая глава ( Время ) |
Соответствующая статья Википедии: Векторное поле
Физическое поле – векторная функция точки (координаты) физического пространства.
Скалярное поле – скалярная функция точки физического пространства, аналогичная вектору, у которого все проекции равны (скаляру).
Пространственная производная поля \(\mathbf{\overrightarrow{F}}\) – вектор физического поля, проекции которого равны производным проекций поля \(\mathbf{\overrightarrow{F}}\) по пространственным прямым. Пространственную производную обозначают оператором набла (\(\nabla\)), определенным для целочисленной мерности. Ее обозначение можно спутать с дивергенцией. Для одномерного пространства она обращается в обычную производную, как и дивергенция.
Градиент – пространственная производная скалярного поля. Обозначается \(grad\) или \(\nabla\).
Следующие линейные операторы над физическим полем \(\mathbf{\overrightarrow{F}}\) имеют геометрические определения, где системы координат применяются лишь в частных случаях:
| Физический смысл | Оператор | Обозначение | Определение | Мерность |
|---|---|---|---|---|
| Завихренность | Циркуляция | \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}\] | \[\geq 1\] | |
| Ротор | \[rot\mathbf{\overrightarrow{F}}\] | (проекция вектора) \[\lim_{S\to 0}\frac{\mathbf{\overrightarrow{n}}}{S}\oint{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}\] \[\lim_{S\to 0}\frac{1}{S}\oint{\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\alpha}\] |
\[\geq 3\] | |
| \[rot\mathbf{\overrightarrow{F}}=\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}}\] | \[\begin{pmatrix}\mathbf{\overrightarrow{e}}_x & \mathbf{\overrightarrow{e}}_y & \mathbf{\overrightarrow{e}}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z\end{pmatrix}\] | \[3\] | ||
| Исток или сток | Поток | \[\int{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\] | \[>1\] | |
| Дивергенция | \[div\mathbf{\overrightarrow{F}}\] | \[\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\] | \[>1\] | |
| \[div\mathbf{\overrightarrow{F}}=\nabla\cdot\mathbf{\overrightarrow{F}}\] | \[\sum{\frac{\partial F_n}{\partial x_n}}\] | целая |
\(\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}\) – вектор касательной к контуру циркуляции;
\(\mathbf{\overrightarrow{n}}\) – нормаль к плоскому контуру циркуляции, направленная по правилу правого винта;
\(\mathbf{\overrightarrow{r}}\) – радиус-вектор в контуре циркуляции;
\(\mathrm{d}\alpha\) – угол дуги контура циркуляции;
\(S\) – площадь контура циркуляции;
\(\mathrm{d}S\) – площадь поверхности потока на нормаль к ней, направленную наружу замкнутой поверхности;
\(V\) – объем замкнутой поверхности потока.
Формула Кельвина-Стокса – связь циркуляции с потоком через поверхность, ограниченную контуром: \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\int{rot\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\] Формула Остроградского-Гаусса – связь потока через замкнутую поверхность с интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью: \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\oint{div\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}V}\]
| Вихревое (соленоидальное) | \[rot\mathbf{\overrightarrow{F}}\neq 0\;\;\;\;\;div\mathbf{\overrightarrow{F}}=0\] |
|---|---|
| Потенциальное | \[rot\mathbf{\overrightarrow{F}}=0\] |
| Потенциальное однородное | \[rot\mathbf{\overrightarrow{F}}=0\;\;\;\;\;div\mathbf{\overrightarrow{F}}=0\;\;\;\;\;\mathbf{\overrightarrow{F}}=const\] |
Векторный потенциал – абстрактное векторное поле, заменяющее вихревое физическое поле для упрощения моделей. Потенциал \(\mathbf{\overrightarrow{A}}\) определен так: \[\mathbf{\overrightarrow{F}}=rot\mathbf{\overrightarrow{A}}=\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{A}}\] Потенциал (скалярный потенциал) – скалярное поле, заменяющее потенциальное физическое поле для упрощения моделей. Потенциал \(P\) определен так: \[\mathbf{\overrightarrow{F}}=grad\;P=\nabla P\] Поскольку циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю, потенциал равен интегралу по произвольному разомкнутому контуру: \[P=\int{\mathbf{\overrightarrow{F}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}+const\] Поле потенциала не является физическим, и его величина относительна.
Формулы векторного анализа
Формулы векторного анализа, связанные с манипуляциями оператором набла как с вектором, доказаны и применимы только для 3-мерного пространства. Например:
| \[div\;rot\mathbf{\overrightarrow{F}}=0\] | \[\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}})=0\] |
| \[rot\;grad\;P=0\] | \[\nabla\times(\nabla P)=0\] |
| \[\Delta P=div\;grad\;P\] | \[\Delta P=\nabla\cdot(\nabla P)=\nabla^2P\] |
| \[rot\;rot\;P=grad\;div\;P-\Delta P\] | \[\nabla\times\nabla P=\nabla(\nabla\cdot P)-\nabla^2P\] |
| \[rot\;P\mathbf{\overrightarrow{F}}=(grad\;P)\times\mathbf{\overrightarrow{F}}+P\;rot\mathbf{\overrightarrow{F}}\] | \[\nabla\times(P\mathbf{\overrightarrow{F}})=(\nabla P)\times\mathbf{\overrightarrow{F}}+P(\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}})\] |
| \[div\;P\mathbf{\overrightarrow{F}}=(grad\;P)\mathbf{\overrightarrow{F}}+P\;div\mathbf{\overrightarrow{F}}\] | \[\nabla\cdot(P\mathbf{\overrightarrow{F}})=(\nabla P)\mathbf{\overrightarrow{F}}+P(\nabla\cdot\mathbf{\overrightarrow{F}})\] |
| \[grad(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)=(\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_1+(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_2+\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\times rot\mathbf{\overrightarrow{F}}_1+\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\times rot\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\] | \[\nabla(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)=(\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_1+(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_2+\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\times(\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_1)+\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\times(\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)\] |
| \[rot(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)=(\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_1-(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_2-\mathbf{\overrightarrow{F}}_2 div\mathbf{\overrightarrow{F}}_1+\mathbf{\overrightarrow{F}}_1 div\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\] | \[\nabla\times(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)=(\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_1-(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{F}}_2-\mathbf{\overrightarrow{F}}_2(\nabla\cdot\mathbf{\overrightarrow{F}}_1)+\mathbf{\overrightarrow{F}}_1(\nabla\cdot\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)\] |
| \[div(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)=\mathbf{\overrightarrow{F}}_2 rot\mathbf{\overrightarrow{F}}_1-\mathbf{\overrightarrow{F}}_1 rot\mathbf{\overrightarrow{F}}_2\] | \[\nabla\cdot(\mathbf{\overrightarrow{F}}_1\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)=\mathbf{\overrightarrow{F}}_2(\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_1)-\mathbf{\overrightarrow{F}}_1(\nabla\times\mathbf{\overrightarrow{F}}_2)\] |
\(\Delta\) – оператор Лапласа (лапласиан).
| Предыдущая глава ( Физический вектор ) | Содержание книги | Следующая глава ( Время ) |
