Физический вектор
Предыдущая глава ( Физическое пространство ) | Содержание книги | Следующая глава ( Физическое поле ) |
Соответствующая статья Википедии: Вектор
Физический вектор – физическая величина в точке физического пространства, выраженная проекцией вектора на каждый геометрический луч, исходящий из данной точки. Максимальная по величине проекция равна модулю вектора, а ее луч – направление вектора.
Сумма векторов в точке – сумма их проекций по всем геометрическим лучам, исходящим из данной точки.
Угол между двумя векторами – плоский угол, определяемый решением векторного треугольника, образованного бесконечно малыми отрезками лучей, направляющими векторы.
В пространстве любой мерности (>1), любые два вектора с известными модулями и углом можно представлять соответствующими числами на воображаемой комплексной плоскости, заданной векторным треугольником. Основные операции над ними сводятся к простым операциям c комплексными числами:
Операция | Запись | Вычисление |
---|---|---|
Сложение - вычитание | \[\mathbf{\overrightarrow{A}}\pm\mathbf{\overrightarrow{B}}\] | \(A\pm B,\) результат в той же плоскости |
Скалярное умножение | \[\mathbf{\overrightarrow{A}}\cdot\mathbf{\overrightarrow{B}}\] | \(Re(A\cdot\overline{B})\) |
Векторное умножение | \[\mathbf{\overrightarrow{A}}\times\mathbf{\overrightarrow{B}}\] | Модуль вектора\(=Im(A\cdot\overline{B})\), направление перпендикулярно плоскости |
Проекция вектора на прямую (луч) – скалярное произведение вектора на единичный вектор прямой (луча). Модуль единичного вектора – единица физической величины.
Для пространства целой мерности N, как известно, N ортогональных проекций однозначно определяют вектор. Подобный математический прием известен также в спектральном преобразовании (Фурье и т.п.), но оно, в отличие от традиционного представления вектора, может быть как дискретным, так и непрерывным:
Спектральный анализ | Векторный анализ | |
---|---|---|
Базис | Ортогональные функции. | Ортогональные векторы (оси). |
Дискретность (частный случай) |
Числовая последовательность (Фурье и т.п.) – представление периодической функции. | Математический вектор (N чисел) – физический вектор целой мерности (N проекций). |
Непрерывность (общий случай) |
Спектральная плотность произвольной функции. | Произвольный физический вектор – множество проекций. |
Аналитическая геометрия с ее алгеброй матриц, тензоров и т.д. применима лишь для частных случаев, но не для выражения фундаментальных законов.
Предыдущая глава ( Физическое пространство ) | Содержание книги | Следующая глава ( Физическое поле ) |