Сплошная среда

Материал из Alt-Sci
Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Энергия и сила ) Содержание книги Следующая глава ( Волны )

Соответствующая статья Википедии: Сплошная среда

Сплошная среда

Сплошная среда – механическая система, описываемая физическими и скалярными полями

\(\rho\) – плотность массы;
\(\mathbf{\overrightarrow{v}}\) – скорость движения;
\(P\) – давление среды;
\(U\) – объемная плотность потенциальной энергии внешних сил;
\(\mathbf{\overrightarrow{f}}\) – сила любой природы кроме давления среды и потенциальной энергии, выраженная через ускорение.

Давление (статическое давление) – скалярное поле, полностью аналогичное полю потенциальной энергии, но являющееся неотъемлемым свойством самой среды. Так же как в случае с энергией, на динамику среды влияет градиент (перепад) давления.

Уравнение непрерывности или неразрывности основано на законах сохранения массы-энергии: \[\frac{\partial\rho}{\partial t}+div\;\rho\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{1}\] Уравнение Эйлера основано на 2-ом законе Ньютона: \[\rho\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}+grad(P+U)=\rho\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{2}\] Ускорение по формуле производной Лагранжа раскладывается на частную производную по времени и конвективную производную, выражающую неоднородность скоростного поля: \[\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\partial t}+(\mathbf{\overrightarrow{v}}\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{3}\] Уравнение Эйлера с учетом (3) принимает вид: \[\rho\frac{\partial\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\partial t}+\rho(\mathbf{\overrightarrow{v}}\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{v}}+grad(P+U)=\rho\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{4}\] Стационарные формы уравнений (1) и (4) при \(\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{\partial\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\partial t}=0\) имеют вид: \[div\;\rho\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{5}\] \[\rho(\mathbf{\overrightarrow{v}}\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{v}}+grad(P+U)=\rho\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{6}\] Для несжимаемой жидкости (\(\rho=const\)) уравнение (5) упрощается: \[div\;\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{7}\] Уравнение (6) является суммой силы скоростного напора потока, силы разности (градиента) давления, потенциальных сил и прочих сил \(\mathbf{\overrightarrow{f}}\). К прочим силам относится также сила вязкого трения, которая равна нулю в идеальных или сверхтекучих средах.

При отсутствии потенциальных и прочих сил, давление в замкнутой системе стремится к выравниванию по всему ее объему согласно закону Паскаля.

Баротропный газ

Баротропная сжимаемая среда имеет свойство: \[P+U=f(\rho)\] Следствием является коллинеарность градиентов: \[grad(P+U)=\frac{\mathrm{d}f(\rho)}{\mathrm{d}\rho}grad\;\rho\tag{8}\] Квадратичная зависимость \(f(\rho)\) существенно упрощает уравнение Эйлера, делая плотность общим множителем: \[P+U=k\rho^2\;\;\;\;\;\;\;k=const\] \[grad(P+U)=2k\rho\;grad\;\rho=2\rho\;grad\frac{P+U}{\rho}\]

Закон Бернулли

Одномерное стационарное уравнение Эйлера, применимое для среды, где все параметры являются функцией одной координаты, имеет вид: \[\rho v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}(P+U)}{\mathrm{d}x}=\rho f\tag{9}\] Интегрирование (9) при \(f=0\) дает известный закон Бернулли, как сумму динамического (скоростного), статического (обычного) давлений и объемной плотности потенциальной энергии \(U\): \[\frac{\rho v^2}{2}+P+U=const\tag{10}\] Более известна форма этого закона для несжимаемой жидкости в гравитационном поле с плотностью его потенциальной энергии \(\rho gh\): \[\frac{\rho v^2}{2}+P+\rho gh=const\tag{11}\] \(g\) – ускорение свободного падения;
\(h\) – высота.

Давление столба покоящейся несжимаемой жидкости высотой \(H\) равно \(\rho gH\), вследствие чего действует также закон сообщающихся сосудов.


Предыдущая глава ( Энергия и сила ) Содержание книги Следующая глава ( Волны )