Золотое сечение

Предыдущая глава ( Плотная упаковка )	Содержание книги	Следующая глава ( Логарифмы и октавы )

Соответствующая статья Википедии: Золотое сечение

Определение

«… натуральный ряд чисел, который в сущности является возможным, но весьма искусственным математическим ухищрением, имеющим с реальной природой очень мало общего, стал для вас базисом тех азов математики, с которыми только и знакомо огромное большинство представителей Человечества»

(неизвестный автор)

Сечение отрезка на две части, при котором отношение всего отрезка к его большей части равно отношению его большей части к его меньшей части. Отношение называется золотой пропорцией: \[\Phi=\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}\] Если весь отрезок \(AB=1\), тогда \(AC\) – золотое сечение \(\phi\). \[\Phi=\frac{1}{\phi}=\frac{\phi}{1-\phi}\] \[\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0,618\] Соотношение между пропорцией и сечением: \[\Phi=\frac{1}{\phi}=1+\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx1,618\] Ряд золотого сечения – геометрическая прогрессия со знаменателем \(\Phi\) или \(\phi\), имеющая уникальное свойство: \[\Phi^N=\Phi^{N-1}+\Phi^{N-2}\] \[\phi^N=\phi^{N+1}+\phi^{N+2}\] Ряд золотого сечения образуется при последовательном сечении отрезка и его частей:

\(AB=1, AC=DB=\phi, DC=\phi^2\)

Правильный пятиугольник и пятиконечная звезда имеют золотые пропорции.

\(AB=1, AC=DB=AE=EB=\phi, DC=\phi^2, \phi=2sin\frac{\pi}{10}, \Phi=2cos\frac{\pi}{5}\)

Золотая логарифмическая спираль Хэмбиджа (\(b=\frac{ln\Phi}{\pi}\)). Ортогональные радиальные оси пересекаются спиралью в золотой пропорции. Точки пересечения образуют прямые углы.

Золотая логарифмическая спираль (\(b=2\frac{ln\Phi}{\pi}\)) с золотыми прямоугольниками, делящимися на квадраты.

Пропорции лица человека близки к золотым

Человеческая рука имеет наивысшие (по отношению к животным) способности, и отношения длин ее костей близки к золотой пропорции:

Кисть (длинные пальцы)			Кисть (большой палец)			Рука
ногтевая фаланга	1		ногтевая фаланга	1		кисть (в среднем)	1
средняя фаланга	\(\Phi\)		основная фаланга	\(\Phi\)		предплечье	\(\Phi\)
основная фаланга	\(\Phi^2\)		пястье	\(\Phi^2\)		плечо	\(\Phi^2\)
пястье	\(\Phi^3\)

Кости руки, сгибаясь в суставах под прямыми углами, почти вписываются в золотые спирали.

Ряд Фибоначчи

Ряд Фибоначчи – целочисленное приближение к ряду золотого сечения: \[F_N=F_{N-1}+F_{N-2}\;\;\;\;\;F_1=F_0=1\]

\(N\)	\(F_N\)	\(\Phi^{N-1}\)	ошибка
0	1	0,618	62%
1	1	1,000	0%
2	2	1,618	24%
3	3	2,618	15%
4	5	4,236	18%
5	8	6,854	17%
6	13	11,09	17%
7	21	17,94	17%

Суммой сочетания чисел из ряда Фибоначчи удобно представить любое натуральное число. Такая система широко применяется людьми для формирования рядов мер, например, весов гирь или стоимости денежных знаков. Но на практике используется ряд округленных чисел:

Практический ряд	1		2	3	5	10	15	20	25	50	100
Ряд Фибоначчи	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89

Представление чисел рядом Фибоначчи, в общем, избыточно (многовариантно):

	8	5	3	2	1	1
1
2
3							1
4
5							1
6							1
7
8							2
9							2
10							1
11							1
12
13							3
14							3
15							2
16							2
17							2
18							1
19							1
20

Желтым цветом обозначены «золотые числа», имеющие только один вариант представления. Ряд этих чисел, как видно, образуется по одной из следующих формул: \[\sum_{i=0}^{N-1}F_i\;\;\;\;\;N=1,2,3…\] \[F_N-1\;\;\;\;\;N=2,3…\]

См. также

• Спектр

---

Предыдущая глава ( Плотная упаковка )	Содержание книги	Следующая глава ( Логарифмы и октавы )