Заряд и закон Кулона

Материал из Alt-Sci
Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Электрическое поле и сила Лоренца ) Содержание книги Следующая глава ( Электрический потенциал и емкость )

Соответствующие статьи Википедии: Электрический заряд, Закон Кулона

Заряд

Заряд – поток электрического поля через замкнутую поверхность ограниченного объема пространства. Формула известна как теорема Гаусса для электрического поля.

Область СИ СГС Упрощенная \[\tag{1}\]
Вакуум (эфир) \[Q=\varepsilon_0\oint{\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\]

\[q=\varepsilon_0\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}div\;\mathbf{\overrightarrow{E}}+\varepsilon_0\mathbf{\overrightarrow{E}}\;grad\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}\]

\[Q=\frac{1}{4\pi}\oint{\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\]

\[q=\frac{c}{4\pi|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}div\;\mathbf{\overrightarrow{E}}+\frac{1}{4\pi}\mathbf{\overrightarrow{E}}\;grad\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}\]

\[Q=\oint{\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\]

\[q=\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}div\;\mathbf{\overrightarrow{E}}+\mathbf{\overrightarrow{E}}\;grad\frac{c}{|\mathbf{\overrightarrow{v}}|}\]

Вещество \[Q=\oint{\mathbf{\overrightarrow{D}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\]

\[q=div\;\mathbf{\overrightarrow{D}}\]

\[Q=\frac{1}{4\pi}\oint{\mathbf{\overrightarrow{D}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\]

\[q=\frac{1}{4\pi}div\;\mathbf{\overrightarrow{D}}\]

\[Q=\oint{\mathbf{\overrightarrow{D}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\]

\[q=div\;\mathbf{\overrightarrow{D}}\]

\[\tag{2}\]

Действующая величина заряда материальной частицы не зависит от диэлектрической проницаемости окружающей среды, так как сила действия на окружающие заряды также пропорциональна проницаемости по ее определению ("Электрическое поле и сила Лоренца", 1).

Закон Кулона

Сила взаимодействия зарядов определена потенциальной энергией \(U\) точечного заряда \(q\) с индукцией \(\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\), находящемся в поле заряда \(Q\) напряженностью \(\mathbf{\overrightarrow{E}}\) на расстоянии \(R\) от него. Выражение энергии плотностью ("Электрическое поле и сила Лоренца", 6) в сферических координатах с центром в точке заряда \(Q\), заменяя \(\mathrm{d}V=\mathrm{d}S\mathrm{d}r\), \(\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathrm{d}S=E\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}\), имеет вид: \[U=\oint{\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}V}=\int_0^\infty{E\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}\mathrm{d}r}\tag{3 – СИ, Упр.}\] \[U=\frac{1}{4\pi}\oint{\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}V}=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{E\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}\mathrm{d}r}\tag{3 – СГС}\] Величина поля, создаваемого зарядом \(Q\), следует из (2), и для однородной диэлектрической среды определена уравнением: \[Q=\oint{\mathbf{\overrightarrow{D}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\varepsilon_0\varepsilon E4\pi r^2\tag{4 – СИ}\] \[Q=\frac{1}{4\pi}\oint{\mathbf{\overrightarrow{D}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\varepsilon Er^2\tag{4 – СГС}\] \[Q=\oint{\mathbf{\overrightarrow{D}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\varepsilon E4\pi r^2\tag{4 – Упр.}\] Поток поля заряда \(q\) через поверхность сферы радиусом \(r\), не равен нулю только если сфера охватывает заряд \(q\), то есть при \(r\geq R\). Изменение, в связи с этим, пределов интегрирования и подстановка выражения для \(E\) дает: \[U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\int_R^\infty{\oint{\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\int_R^\infty{\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\frac{Qq}{R}\tag{5 – СИ}\] \[U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int_R^\infty{\oint{\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}}=\frac{Qq}{\varepsilon}\int_R^\infty{\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}=\frac{1}{\varepsilon}\frac{Qq}{R}\tag{5 – СГС}\] \[U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int_R^\infty{\oint{\mathbf{\overrightarrow{D_q}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon}\int_R^\infty{\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Qq}{R}\tag{5 – Упр.}\] Сила взаимодействия равна градиенту поля потенциальной энергии, который в данном случае равен производной по расстоянию \(R\), представляя собой известный закон Кулона, справедливый для точечных зарядов и больших расстояний: \[\mathbf{\overrightarrow{F}}=-\nabla U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\frac{Qq}{R^2}\tag{6 – СИ}\] \[\mathbf{\overrightarrow{F}}=-\nabla U=\frac{1}{\varepsilon}\frac{Qq}{R^2}\tag{6 – СГС}\] \[\mathbf{\overrightarrow{F}}=-\nabla U=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Qq}{R^2}\tag{6 – Упр.}\]


Предыдущая глава ( Электрическое поле и сила Лоренца ) Содержание книги Следующая глава ( Электрический потенциал и емкость )