Система частиц

Предыдущая глава ( Эффект Казимира )	Содержание книги	Следующая глава ( Квантовая механика )

Соответствующая статья Википедии: Статистическая физика

Определения

Статистическая физика рассматривает систему из большого количества частиц, хаотично движущихся в произвольном объеме пространства, некоторым образом взаимодействующих между собой, частицами других систем, и силовыми полями.

Состояние системы – комбинация уровней полной энергии частиц, как суммы кинетической (теплота, давление) и потенциальной (полевая).

Уравнение установившегося состояния системы частиц, то есть равновесной системы: \[H=kT\,\ln\Omega=TS\tag{1}\] \[S=k\,\ln\Omega\tag{2}\] \(H\) – суммарная полная энергия всех частиц или энтальпия;
\(\Omega\) – количество возможных состояний системы, называемое статистическим весом;
\(S\) – термодинамическая энтропия, характеризующая хаотичность системы;
\(T\) – абсолютная температура всей системы, характеризующая термодинамическое состояние равновесия;
\(k\) – константа Больцмана, зависящая только от размерностей энергии и температуры.

Пусть равновесная система произвольно разделена на части, или несколько систем с одинаковой температурой приведены в контакт. Статистический вес сложной системы (количество состояний) очевидно равен произведению числа состояний частей системы: \[\Omega=\prod\Omega_i\tag{3}\] Уравнение состояния сложной системы как сумма уравнений частей системы: \[\sum H_i=kT\sum\ln\Omega_i=kT\ln\Omega\tag{4}\] Таким образом, нарушение равновесия происходит при локальном изменении температуры или при контакте систем с различной температурой. Нарушение равновесия приводит к перераспределению энергии и установлению другой общей температуры, если нарушение не поддерживается никакой посторонней силой.

Пусть система состоит из \(N\) частиц, разбитых на \(M\) групп с количеством \(N_i\) частиц в каждой, и со средней энергией одной частицы \(\epsilon_i\). Статистический вес системы рассчитывается подобно числу размещений и сочетаний: \[\Omega=N!/\prod_M\N_i!\tag{5}\] Подстановка в (1) величины (5), а также приблизительно верного для больших величин \(N\), полученного из формулы Стирлинга, равенства \(\ln⁡N!\approx N(\ln⁡N-1)\), дает соотношение: \[\sum_MN_i\frac{\epsilon_i}{kT}\approx N(\ln N-1)-\sum_MN_i(\ln N_i-1)\tag{6}\] Величина \(N\) остается постоянной при любом распределении, а приращения величин \(\epsilon_i\) и \(N_i\) связаны уравнением: \[\sum_M\frac{\Delta\epsilon_i}{kT}=-\sum_M\Delta\ln N_i-1\tag{7}\] Таким образом, величины \(N_i\) определяются распределением Гиббса: \[N_i=N_0\exp\left(-\frac{\epsilon_i}{kT}\right)\tag{8}\] Величина \(N_0\) не зависит от \(N_i\) и, в случае конечной величины \(M\), может определяться очевидным соотношением со статистической суммой \(Z\): \[\frac{N_i}{N}=\frac{\exp(-\epsilon_i/kT)}{\sum_M\exp(-\epsilon_i/kT)}=\frac{1}{Z}\exp\left(-\frac{\epsilon_i}{kT}\right)\tag{9}\]

Физический смысл температуры

Суммарная кинетическая энергия частиц равна: \[E=\sum_MN_i\epsilon_i=\frac{N}{Z}\sum_M\epsilon_i\exp\left(-\frac{\epsilon_i}{kT}\right)\tag{10}\] Замена переменных \(x=\epsilon_i/kT\) дает выражение: \[E=NkT\frac{\sum_Mxe^{-x}}{\sum_Me^{-x}}\tag{11}\] Для бесконечно больших величин \(N\) и \(M\), отношение сумм (11) допустимо заменить отношением определенных интегралов на всем интервале энергий: \[\lim_{M\to\infty}\frac{\sum_Mxe^{-x}}{\sum_Me^{-x}}=\frac{\int_0^\infty{xe^{-x}\mathrm{d}x}}{\int_0^\infty{e^{-x}\mathrm{d}x}}=\Gamma(2)=1\tag{12}\] В результате при любом распределении энергий в большой системе частиц можно полагать: \[E=NkT\tag{13}\] Выражение средней энергии отдельной частицы присваивает температуре физический смысл: \[\epsilon=kT\tag{14}\]

Распределение Больцмана

Непрерывная форма дискретного распределения Гиббса – это распределение Больцмана: \[n=n_0\exp\left(-\frac{U}{kT}\right)\tag{15}\] Например, для гравитационного поля \(U=mgh\), и подстановка плотности или давления атмосферы на нулевой высоте в качестве \(n_0\), дает известную барометрическую формулу: \[P(h)=P_0\exp\left(-\frac{mgh}{kT}\right)\tag{16}\]

См. также

• Термодинамика

---

Предыдущая глава ( Эффект Казимира )	Содержание книги	Следующая глава ( Квантовая механика )