Твердое тело
| Предыдущая глава ( Металлы ) | Содержание книги | Следующая глава ( Форма ) |
Соответствующая статья Википедии: Твёрдое тело
Сплошная среда
Твердое тело – агрегатное состояние вещества и особый вид сплошной среды.
| Обобщенная сплошная среда | Твердое тело |
|---|---|
| Перенос вещества может быть | Переноса вещества нет |
| Изотропная плотность | Анизотропная деформация |
| Изотропное давление | Анизотропное механическое напряжение |
| Баротропность | Упругость |
Механическое напряжение – объемная плотность энергии направленного взаимодействия частиц тела, в отличие от хаотичного теплового взаимодействия. По отношению к граням элементарного кубического объема, напряжение может быть:
- Нормальное – перпендикулярно грани, как обычное давление.
- Касательное – параллельно грани. Возникает вследствие анизотропии нормального напряжения.
Материалы характеризуются пределами напряжений:
- Упругость – отсутствие остаточной деформации и пластичности.
- Пропорциональность деформации и напряжения.
- Текучесть – энергия частиц достаточна для перехода тела в жидкое состояние при низкой температуре. Эффект типичен для металлов.
- Выносливость и прочность – энергия частиц достаточна для разрыва связей между ними при низкой температуре. Испарение не происходит, поскольку напряжение быстро падает после разрыва тела.
Объемное изотропное напряжение \(P\) связано с относительной объемной деформацией \(\frac{\Delta V}{V}\) тела плотностью \(\rho\) через объемный модуль упругости (модуль всестороннего сжатия) \(K\): \[P=K\frac{\Delta \rho}{\rho}=K\frac{\Delta V}{V}\tag{1}\]
Объемная деформация связана с одномерной изотропной линейной деформацией \(\Delta L\): \[\frac{\Delta V}{V}=\left(1+\frac{\Delta L}{L}\right)^3-1\approx 3\frac{\Delta L}{L}\tag{2}\]
Линейная (нормальная) упругая деформация описывается законом Гука:
\[E\frac{\Delta L}{L}=P_\parallel-2\mu P_\perp\tag{3}\]
\(E\) – модуль Юнга;
\(\mu\) – отношение относительного поперечного сжатия к продольному растяжению (коэффициент Пуассона);
\(P_\parallel\) – продольное нормальное напряжение;
\(P_\perp\) – поперечное нормальное напряжение по одной из двух осей.
Объемный модуль упругости при \(P=P_\parallel=P_\perp\): \[K=\frac{E}{3(1-2\mu)}\tag{4}\]
Сдвиговая (касательная) деформация представляется деформацией квадратного участка сечения линейно деформируемого тела.
\[tg\;\alpha=\frac{1-\mu\frac{\Delta L}{L}}{1+\frac{\Delta L}{L}}\approx\left(1-\mu\frac{\Delta L}{L}\right)\left(1-\frac{\Delta L}{L}\right)\approx 1-\frac{\Delta L}{L}(1+\mu)\tag{5}\]
Угол сдвига \(\theta\) связан с углом \(\alpha\) так: \[\theta=\frac{\pi}{2}-2\alpha\tag{6}\] \[tg\;\alpha=tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)\approx 1-\theta\tag{7}\]
Из (5) и (7) следует: \[\theta=\frac{\Delta L}{L}(1+\mu)\tag{8}\]
Сдвиговая деформация при малых углах: \[\theta=\frac{\Delta L_G}{L_G}\tag{9}\]
Объемная сдвиговая и линейная деформации связаны через уравнение напряжения: \[E\frac{\Delta L}{L}=\frac{E}{1+\mu}\frac{\Delta L_G}{L_G}\tag{10}\]
Модуль сдвига \(G\) определен для одномерной деформации при касательном напряжении, равном половине объемного напряжения сдвига: \[G=\frac{E}{2(1+\mu)}\tag{11}\]
Волны
Скорость распространения продольной волны (“Волны”, 5) в твердом теле следует из (1): \[c_T=\sqrt{\frac{K_B}{\rho}}\tag{12}\] где \(K_В\) – модуль волны, грубо оцениваемый как объемный модуль упругости \(K\).
Модуль одномерной волны (в тонком стержне) равен модулю Юнга \(E\).
Энергия объемной волны складывается из энергии объемных нормальных и касательных (сдвиговых) напряжений по двум осям из трех (по фронту волны), поэтому ее модуль: \[K+\frac{2E}{3(1+\mu)}=K+\frac{4G}{3}\tag{13}\]
Вращение
Вращающееся твердое тело обладает одинаковой угловой скоростью \(\omega\) каждой своей частицы, что позволяет использовать момент инерции \(J\) для упрощения расчетов. Кинетическая энергия вращения без релятивистских поправок (см. "Масса и инерция"): \[A=\int{\frac{\rho v^2}{2}\mathrm{d}V}=\frac{\omega^2}{2}\int{r^2\rho\mathrm{d}V}=\frac{J\omega^2}{2}\tag{14}\]
Взаимосвязь мощности и момента импульса \(L\), называемого также кинетическим моментом: \[\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=J\omega\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=L\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\tag{15}\]
Уравнение момента силы: \[\mathbf{\overrightarrow{M}}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{L}}}{\mathrm{d}t}=J\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{\omega}}}{\mathrm{d}t}=J\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\frac{\mathbf{\overrightarrow{L}}}{|\mathbf{\overrightarrow{L}}|}+\mathbf{\overrightarrow{\omega}}_p\times\mathbf{\overrightarrow{L}}\tag{16}\] где \(\mathbf{\overrightarrow{\omega}}_p\) – угловая скорость прецессии.
Центр масс (инерции) – точка, вокруг которой тело массой \(m\) может вращаться без моментов внешних сил. Моменты сил инерции взаимно компенсируются в этой точке: \[\mathbf{\overrightarrow{r}}_0=\frac{1}{m}\int{\mathbf{\overrightarrow{r}}\rho\mathrm{d}V}\tag{17}\]
Изгиб балки и кручение вала во многом подобны вращению. Как линейное перемещение прямо пропорционально расстоянию от центра вращения, так относительная деформация прямо пропорциональна расстоянию от оси изгиба или кручения. Напряжение \(P\) упругой деформации на расстоянии \(r\) от оси можно выразить так:
\[P=\frac{P_{MAX}}{R}r\]
\(P_{MAX}\) – наибольшее напряжение на краю поперечного сечения балки или вала;
\(R\) – расстояние от оси до этого края.
Уравнение момента силы, интегрированного по поперечному сечению \(S\):
\[M=\int{rP\mathrm{d}S}=\frac{P_{MAX}}{R}\int{r^2\mathrm{d}S}=P_{MAX}\frac{I}{R}=P_{MAX}W\]
\(I\) – осевой или полярный момент инерции сечения;
\(W\) – осевой или полярный момент сопротивления изгибу или кручению соответственно.
| Предыдущая глава ( Металлы ) | Содержание книги | Следующая глава ( Форма ) |
