Металлы
Предыдущая глава ( Теплоемкость ) | Содержание книги | Следующая глава ( Твердое тело ) |
Соответствующая статья Википедии: Металлы
Тепло-электропроводность
В металлах отсутствуют выраженные энергетические уровни электронов и существует электронный газ. Электроны, как наиболее подвижные частицы, являются основными высокоэффективными передатчиками тепла и электрического тока в твердых металлических телах. Фононы Дебая поглощаются материальными частицами. Считая электронный газ идеальным газом, можно определить среднюю скорость \(v_0\) теплового движения электронов из уравнения: \[kT=\frac{mv_0^2}{2}\tag{1}\] При \(T\) = 300K, \(v_0\) = 9,5·104 м/с, и импульс электрона \(p_0\) = 8,7·10-26 кг·м/с.
Теплопроводность | Электропроводность | |
---|---|---|
Закон | \(\mathbf{\overrightarrow{q}}=-\chi\;grad\;T\) (закон Фурье) |
\(\mathbf{\overrightarrow{j}}=-\sigma\;grad\;\varphi=\sigma\mathbf{\overrightarrow{E}}\) (дифференциальный закон Ома) |
Энергия частицы \(\epsilon\) | \(kT\) | \(e\varphi\) |
Несущие частицы | все | свободные электроны |
Величина, которую несет частица | \(C_MT/N_A\) | \(e\) |
В соответствии с классической теорией Друде, электроны передвигаются от одного препятствия (атома кристаллической решетки и т.п.) до другого в течение времени релаксации \(\tau\), как отношения средней длины пробега \(l_0\) к средней скорости \(v_0\) теплового движения. Скорость дрейфа под действием внешней силы – это произведение создаваемого ей ускорения на время релаксации. Число частиц, дрейфующих через единицу площади в единицу времени, определяется умножением этой скорости на объемную концентрацию частиц \(n\): \[\mathbf{\overrightarrow{s}}=-n\frac{\tau}{m}grad\;\epsilon=-n\frac{l_0}{p_0}grad\;\epsilon\tag{2}\] Устойчивые положения электронов находятся в узлах стоячих волн фононов. Поэтому средняя длина пробега приблизительно равна половине средней длины этих волн, не превышающей периода кристаллической решетки.
Проводимость металлов снижается с ростом температуры при уменьшении длины пробега и увеличении импульса.
Закон теплопроводности Фурье: \[\mathbf{\overrightarrow{q}}=\frac{C_MT}{N_A}\mathbf{\overrightarrow{s}}=-n\frac{C_Mk}{N_A}\frac{l_0}{p_0}T\;grad\;T\tag{3}\] \[\chi=n\frac{C_Mk}{N_A}\frac{l_0}{p_0}T\tag{4}\] Теплопроводность металлов, за исключением некоторых сплавов, снижается с ростом температуры выше точки Дебая.
Полагая электроны единственными передатчиками тепла, концентрация частиц определяется через атомный номер \(Z\) и молярный объем \(V_M\): \[n=\frac{N_AZ}{V_M}\tag{5}\] Тогда средняя длина пробега электронов оценивается по формуле: \[l_0=\frac{V_Mp_0\epsilon}{ZC_MkT}\tag{6}\]
\(l_0\), пм (при \(T\) = 300 К) |
Металлы |
---|---|
>150 | Легкие металлы, где длина пробега соизмерима с ковалентными радиусами атомов (литий, бериллий, натрий, магний, алюминий, калий, кальций). |
78...85 | Серебро, медь (максимальная проводимость). |
34 | Золото. |
25...30 | Хром, цинк, молибден, стронций. |
17...21 | Железо, никель, кобальт (ферромагнетизм). Вольфрам (тугоплавкость). Олово, кадмий (легкоплавкость). |
<12 | Тяжелые металлы с низкой проводимостью (титан, марганец, иттрий, палладий, барий, тантал, платина, ртуть, свинец, висмут и т.д.). |
Радиус электрона оценивается в 2...3 пм (см. "Масса и импульс"). |
Усилению слабой связи электронов способствует создание прочных пространственных структур. Например, в атомах железа, кобальта, никеля, меди, которые имеют спаренные ядерные протоны в форме икосаэдра, электроны формируют аналогичные структуры. Конденсация электронов в этих материалах проявляется двумя взаимоисключающими явлениями: высокая магнитная проницаемость (ферромагнетики) или высокая тепло- и электропроводность (медь).
Магнитострикция – деформация кристаллической структуры под действием внешнего магнитного поля. Эффект наиболее выражен у ферромагнетиков, где электроны притягиваются друг к другу магнитным полем.
Медь является диамагнетиком, так как электроны в ней спарены, предоставляя ядрам атомов реагировать на внешнее магнитное поле.
Серебро – элемент группы меди с максимальной проводимостью.
Закон Ома в дифференциальной форме определяет плотность тока через концентрацию свободных электронов \(n_e\): \[\mathbf{\overrightarrow{j}}=e\mathbf{\overrightarrow{s}}=-n_ee^2\frac{l_0}{p_0}grad\;\varphi=n_ee^2\frac{l_0}{p_0}\mathbf{\overrightarrow{E}}\tag{7}\] Удельная электрическая проводимость \(\sigma\) и сопротивление \(\rho\): \[\sigma=\frac{1}{\rho}=n_ee^2\frac{l_0}{p_0}\tag{8}\] Электрическая проводимость металлов, за исключением некоторых сплавов, уменьшается с ростом температуры.
Сверхпроводимость – аномальное повышение электрической проводимости при сверхнизкой температуре. Аномалия объясняется тем, что электроны низких энергий массово спариваются (т.н. пары Купера), упорядочивая хаотичный поток. Сопутствующий эффект Мейснера объясняется вихревыми токами в сверхпроводнике, индуцируемыми внешним магнитным полем.
Работа перемещения заряда по любому сопротивляющемуся проводнику равна передаваемой ему тепловой энергии, поскольку омическое сопротивление заключается в механическом взаимодействии частиц. Для проводника сечением \(S\) на участке длиной \(\Delta l\) за время \(\Delta t\) она равна: \[A=\mathbf{\overrightarrow{F}}\Delta\mathbf{\overrightarrow{l}}=q\mathbf{\overrightarrow{E}}\Delta\mathbf{\overrightarrow{l}}=\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathbf{\overrightarrow{j}}S\Delta l\Delta t\tag{9}\] Объемная плотность мощности теплового действия тока выражается законом Джоуля–Ленца в дифференциальной форме: \[w=\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathbf{\overrightarrow{j}}=\sigma E^2=\rho j^2\tag{10}\] Электрический ток по мере своей силы задает направление в хаотичном тепловом движении частиц, фактически уменьшая тепловую энергию электронного газа. Поэтому линейные законы Ома и Джоуля–Ленца справедливы, когда работа перемещения электронов электрическим полем не превышает тепловой энергии электронного газа: \[\rho j^2<n_ekT\tag{11}\] \[j=\sqrt{\sigma n_ekT}\tag{12}\] Превышение критической величины плотности тока приводит к повышению скорости \(v_0\) электронов под действием электрического поля, то есть к прямому повышению температуры проводника, намного большему, чем при обычном тепловом действии по закону Джоуля–Ленца. Данный эффект используется, например, в плавких предохранителях.
Полагая, что все электроны проводника свободны (\(n_e=n\)), критическую плотность тока можно рассчитать по приближенной формуле с использованием (5), где R – газовая постоянная: \[j_{MAX}=\sqrt{\frac{\sigma ZRT}{V_M}}\tag{13}\] Подстановка величин для \(T=300 K\), дает критическую плотность тока 7,7·108А/м2 для меди, и 3,4·108А/м2 для алюминия. Например, для тока 1А диаметр медного предохранителя должен быть около 0,04 мм, и алюминиевого – 0,06 мм. Для более высоких токов должен учитываться значительный нагрев предохранителя за счет его омического сопротивления согласно закона Джоуля–Ленца.
Отношение коэффициента теплопроводности к электропроводности металлов практически прямо пропорционально абсолютной температуре с коэффициентом, называемым числом Лоренца \(L\). Это отношение называется законом Видемана-Франца, и оно при подстановке (4) и (8) имеет вид: \[\frac{\chi}{\sigma}=\frac{nC_M}{n_eR}\frac{k^2}{e^2}T=L_0\frac{k^2}{e^2}T=LT\tag{14}\] Безразмерный коэффициент, зависящий от материала и температуры: \[L_0=\frac{nC_M}{n_eR}\approx 3\dotsc 4\tag{15}\]
Металл | \(\chi\), Вт/(м·К) |
\(\sigma\), МСм/м |
\(L_0\) | \(C_M/R\) | \(n/n_e\) | Комментарий |
---|---|---|---|---|---|---|
серебро | 429 | 62,5 | 3,08 | 3,05 | 1,01 | |
медь | 401 | 58,8 | 3,06 | 2,94 | 1,04 | |
золото | 317 | 45,5 | 3,13 | 3,05 | 1,02 | |
алюминий | 237 | 36,0 | 2,96 | 2,93 | 1,01 | |
вольфрам | 163 | 18,2 | 4,02 | 2,92 | 1,38 | Тугоплавкий металл с высокой долей неподвижных связующих электронов. |
магний | 156 | 22,7 | 3,08 | 3,00 | 1,03 | |
цинк | 116 | 16,9 | 3,08 | 3,06 | 1,01 | |
никель | 90,9 | 11,5 | 3,55 | 3,14 | 1,13 | Ферромагнетики с электронами в составе магнитных доменов. |
железо | 80,4 | 10,0 | 3,61 | 3,02 | 1,19 | |
платина | 71,6 | 9,54 | 3,37 | 3,11 | 1,08 | |
олово | 66,8 | 8,33 | 3,60 | 3,26 | 1,10 | Устойчивая кристаллическая решетка. |
свинец | 35,3 | 4,81 | 3,29 | 3,21 | 1,03 | |
ртуть | 8,3 | 1,04 | 3,58 | 3,37 | 1,06 |
Уникальные металлы в окрестности 80-го элемента периодической системы:
- Вольфрам (74) – самая высокая температура плавления и кипения.
- Золото (79) и платина (78) – распространенные химически инертные металлы.
- Ртуть (80) – самая низкая температура плавления и кипения.
Эффект Холла
Эффект Холла – возникновение поперечной ЭДС в проводнике с током под действием силы Лоренца:
\[E=vB=\frac{jB}{n_e e}\tag{16}\]
где \(E\) – напряженность поля поперечной ЭДС;
\(v\) – скорость дрейфа носителей заряда (электронов в металле);
\(B\) – магнитная индукция.
Удельное сопротивление Холла:
\[\frac{E}{j}=\frac{B}{n_e e}=\rho_H B\tag{17}\] где \(ρ_H\) – коэффициент Холла.
Течение тока в эффекте Холла можно считать двумерным и заменить объемные величины на плоские:
\[R_H=\frac{E}{j_2}=\frac{B}{n_2 e}\tag{18}\]
где \(j_2\) – поверхностная плотность тока, А/м;
\(n_2\) – поверхностная концентрация носителей заряда (электронов в металле), м–2;
\(R_H\) – сопротивление Холла, Ом.
Движение электрона с импульсом \(p\) по окружности радиусом \(r\) описывается уравнением:
\[p=\frac{h}{\lambda}=reB\tag{19}\]
В узлах стоячих волн де Бройля длиной \(\lambda\) концентрируются электронные пары металла, поэтому концентрация электронов равна удвоенной плотности полуволн на плоскости («Волны», 6):
\[n_2=2\frac{\pi}{\lambda^2}\tag{20}\]
Подстановка (19) и (20) в (18) дает:
\[R_H=\frac{h\lambda}{2\pi re^2}\tag{21}\]
Кратность длины волны и окружности вызывает резонансный квантовый эффект Холла так же как и квантовые эффекты атома:
\[2\pi r=n\lambda\;\;\;\;\;n=1,2...\]
Разрешенные сопротивления:
\[R_H(n)=\frac{h}{ne^2}\tag{22}\]
Дробный квантовый эффект Холла (\(0<n<1\)) возникает в сильных магнитных полях, когда в узлах стоячих волн оказывается больше двух электронов, так как их взаимное электростатическое отталкивание не достаточно сильное.
Предыдущая глава ( Теплоемкость ) | Содержание книги | Следующая глава ( Твердое тело ) |