Магнитное действие тока — различия между версиями

Текущая версия на 19:26, 1 марта 2018

Соответствующие статьи Википедии: Теорема о циркуляции магнитного поля, Закон Био — Савара — Лапласа, Индуктивность

Общие понятия

Носитель заряда, двигающийся относительно другого тела, взаимодействует с ними даже при нулевой средней напряженности электрического или магнитного поля с его стороны, поскольку магнитное поле существует везде, где есть материя. Это взаимодействие описывается формулой ("Эфирный вихрь", 6): \[\mathbf{\overrightarrow{j}}=q\mathbf{\overrightarrow{v}}=rot\mathbf{\overrightarrow{H}}\tag{1 - СИ}\] \[\mathbf{\overrightarrow{j}}=q\mathbf{\overrightarrow{v}}=\frac{c}{4\pi}rot\mathbf{\overrightarrow{H}}\tag{1 - СГС}\] \[\mathbf{\overrightarrow{j}}=q\mathbf{\overrightarrow{v}}=c^2rot\mathbf{\overrightarrow{H}}\tag{1 - Упр.}\] где \(\mathbf{\overrightarrow{j}}\) – плотность тока;
\(\mathbf{\overrightarrow{v}}\) – скорость носителей заряда относительно тела.

Закон полного тока

Закон полного тока (теорема о циркуляции магнитного поля) следует непосредственно из (1) опусканием предела в определении ротора, так как поле ротора однородно: \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\mathbf{\overrightarrow{S}}rot\mathbf{\overrightarrow{H}}=\mathbf{\overrightarrow{j}}\mathbf{\overrightarrow{S}}=J\tag{2 - СИ}\] \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\mathbf{\overrightarrow{S}}rot\mathbf{\overrightarrow{H}}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{\overrightarrow{j}}\mathbf{\overrightarrow{S}}=\frac{4\pi}{c}J\tag{2 - СГС}\] \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\mathbf{\overrightarrow{S}}rot\mathbf{\overrightarrow{H}}=\frac{1}{c^2}\mathbf{\overrightarrow{j}}\mathbf{\overrightarrow{S}}=\frac{1}{c^2}J\tag{2 - Упр.}\]

Закон Био-Савара-Лапласа

Закон Био-Савара-Лапласа можно записать в такой форме: \[\mathbf{\overrightarrow{H}}=\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathbf{\overrightarrow{D}}\tag{3 - СИ}\] \[\mathbf{\overrightarrow{H}}=4\pi\frac{\mathbf{\overrightarrow{v}}}{c}\times\mathbf{\overrightarrow{D}}\tag{3 - СГС}\] \[\mathbf{\overrightarrow{H}}=\frac{1}{c^2}\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathbf{\overrightarrow{D}}\tag{3 - Упр.}\] Поскольку поле \(\mathbf{\overrightarrow{H}}\) вихревое, равенство (3) можно заменить равенством роторов и применить к нему формулу векторного анализа: \[rot\;\mathbf{\overrightarrow{H}}=rot(\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathbf{\overrightarrow{D}})=(div\;\mathbf{\overrightarrow{D}}+\mathbf{\overrightarrow{D}}\nabla)\mathbf{\overrightarrow{v}}-(div\;\mathbf{\overrightarrow{v}}+\mathbf{\overrightarrow{v}}\nabla)\mathbf{\overrightarrow{D}}\tag{4 - СИ}\] Вектор \(\mathbf{\overrightarrow{D}}\) перпендикулярен вектору \(\mathbf{\overrightarrow{v}}\) по определению электрического поля, поэтому: \[\mathbf{\overrightarrow{v}}\cdot\mathbf{\overrightarrow{D}}=(\mathbf{\overrightarrow{v}}\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{D}}=(\mathbf{\overrightarrow{D}}\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{5}\] Также поскольку скоростное поле состоит из вихревых и/или однородных составляющих (\(div\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\)) и \(div\mathbf{\overrightarrow{D}}=q\), уравнение (4) обращается в (1), доказывая (3).

Электростатическое поле, создаваемое бесконечно малым зарядом \(\mathrm{d}Q\), находящимся на расстоянии \(\mathbf{\overrightarrow{r}}\) от точки наблюдения поля: \[\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{D}}=-\frac{\mathrm{d}Q}{4\pi r^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{r}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}\tag{6 - СИ, Упр.}\] \[\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{D}}=-\frac{\mathrm{d}Q}{r^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{r}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}\tag{6 - СГС}\] Закон Био-Савара-Лапласа в обычной векторной форме образуется подстановкой (6) в (3): \[\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{B}}=\mu_0\mu\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{H}}=\mu_0\mu\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{D}}=-\mu_0\mu\frac{\mathrm{d}Q}{4\pi r^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathbf{\overrightarrow{r}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}=\frac{\mu_0\mu}{4\pi r^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{J}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}\tag{7 - СИ}\] \[\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{B}}=\mu\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{H}}=4\pi\mu\frac{\mathbf{\overrightarrow{v}}}{c}\times\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{D}}=-\mu\frac{\mathrm{d}Q}{cr^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathbf{\overrightarrow{r}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}=\frac{\mu}{cr^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{J}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}\tag{7 - СГС}\] \[\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{B}}=\mu\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{H}}=\frac{\mu}{c^2}\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{D}}=-\mu\frac{\mathrm{d}Q}{4\pi c^2r^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{v}}\times\mathbf{\overrightarrow{r}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}=\frac{\mu}{4\pi c^2r^2}\frac{\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{J}}}{|\mathbf{\overrightarrow{r}}|}\tag{7 - Упр.}\] Закон в скалярной форме для угла \(\alpha\) между направлением тока и направлением от участка проводника к точке с магнитной индукцией: \[\mathrm{d}B=\frac{\mu_0\mu}{4\pi}\frac{J\mathrm{d}l}{r^2}\sin\alpha\tag{8 - СИ}\] \[\mathrm{d}B=\frac{\mu}{c}\frac{J\mathrm{d}l}{r^2}\sin\alpha\tag{8 - СГС}\] \[\mathrm{d}B=\frac{\mu}{4\pi с^2}\frac{J\mathrm{d}l}{r^2}\sin\alpha\tag{8 - Упр.}\]

Индуктивность

Индуктивность – величина, связывающая магнитный поток (или потокосцепление) с создающим его электрическим током, зависящая от геометрии проводника и магнитной проницаемости окружающей среды: \[LJ=\int{\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\tag{9 - СИ}\] \[LJ=c\int{\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\tag{9 - СГС}\] \[LJ=c^2\int{\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\tag{9 - Упр.}\] Магнитная энергия проводника определяется через ее плотность в 3-мерном пространстве: \[W=\frac{1}{2}\int{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}V}=\frac{1}{2}\int{\oint{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}\tag{10 - СИ}\] \[W=\frac{1}{8\pi}\int{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}V}=\frac{1}{8\pi}\int{\oint{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}\tag{10 - СГС}\] \[W=\frac{c^2}{2}\int{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}V}=\frac{c^2}{2}\int{\oint{\mathbf{\overrightarrow{H}}\mathbf{\overrightarrow{B}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}\tag{10 - Упр.}\] Интеграл (10) содержит в себе постоянную по объему величину циркуляции напряженности (2), поэтому: \[W=\frac{LJ^2}{2}\tag{11 - СИ}\] \[W=\frac{LJ^2}{2c^2}\tag{11 - СГС, Упр.}\] Закон Фарадея записывается через индуктивность в виде: \[\oint{\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=-\frac{\partial(LJ)}{\partial t}\tag{12 - СИ}\] \[c^2\oint{\mathbf{\overrightarrow{E}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=-\frac{\partial(LJ)}{\partial t}\tag{12 - СГС, Упр.}\]