Логарифмы и октавы

Материал из Alt-Sci
Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Золотое сечение ) Содержание книги Следующая глава ( Информатика )

Соответствующая статья Википедии: Логарифм

Определение

Пусть отрезок делится на две части в некоторой пропорции, не обязательно в золотой. Затем только одна определенная часть делится в той же пропорции, и так далее до бесконечности. На примере отрезок делится пополам, и далее его левая часть:

Log 1.png

Полученный ряд длин отрезков \(y_i\) образует обычную геометрическую прогрессию: \[\frac{y_{i+1}}{y_i}=a\] \[\frac{y_{i+n}}{y_i}=a^n\] Для данного примера знаменатель \(a=2\).

Эта система отрезков обладает самоподобием, то есть ее части подобны целому, и целое может быть частью большего целого. Деление каждого частичного отрезка как целого, создает самоподобное фрактальное дерево. На рисунке показаны два уровня дерева:

Log 2.png

Прогрессия \(y_i\) заменяется непрерывной функцией \(y(x)\): \[x=i+\frac{i_1}{N}+\frac{i_2}{N^2}+\dots\] \[y(x)=y_i+\frac{y_{i1}}{N}+\frac{y_{i2}}{N^2}+\dots\] Функция \(y(x)\) определяется для бесконечно малого приращения аргумента \(\Delta x\) через простую линейную зависимость: \[\frac{y(x+\Delta x)}{y(x)}=1+k\Delta x\] \[\frac{y(x+n\Delta x)}{y(x)}=(1+k\Delta x)^n\] Уникальное свойство производной этой функции следует из ее определения: \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=ky(x)\] Пусть некоторый интервал между двумя целыми величинами \((i,i+1)\) аргумента функции \(y(x)\) поделен на n равных частей, и: \[\Delta x=\frac{1}{n}\] Тогда при \(n\to\infty\), \(\Delta x\) становится бесконечно малым, и знаменатель прогрессии, учитывая 2-ой замечательный предел, выражается экспоненциальной функцией: \[a=\frac{y_{i+1}}{y_i}=\frac{y(x+1)}{y(x)}=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^n}=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^{\frac{n}{k}k}}=\mathrm{e}^k\] Натуральный логарифм, как известно – функция, обратная экспоненциальной функции: \[k=\ln ⁡a\] Производная логарифма также определяется через 2-ой замечательный предел: \[\frac{\mathrm{d}\ln ⁡x}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\ln⁡\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{x}\ln⁡\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\] Изобретение логарифма позволило определить степень с дробным иррациональным показателем (показательную функцию), не имеющую геометрической интерпретации, такой как у квадрата и куба. Фракталы и логарифмы позволяют также ввести понятие о геометрии пространства дробной мерности.

Логарифмическая шкала

Логарифмическая шкала требует некоторой условной точки отсчета \(y_0=y(0)\), для перехода от относительных величин к абсолютным величинам любой физической размерности: \[y_i=y_0 ⁡a^i\] \[y(x)=y_0 ⁡a^x=y_0 ⁡\mathrm{e}^{kx}\] \[\frac{\ln(y/y_0)}{\ln a}=\log_a{\frac{y}{y_0}}\] Октава – интервал-отрезок на шкале частот колебаний, поделенной на октавы в геометрической прогрессии со знаменателем 2. Двоичный (по основанию 2) логарифм своей целой частью может указывать номер октавы, а дробной частью определять тон в ее шкале, циклически повторяющейся от одной октавы к другой.

Логарифмирование связано с различными законами живой природы:

Логарифмическая шкала Описание
Высота тона звука За точки отсчета принимают различные условные тона. Октава определена однозначно. Различают несколько вариантов шкал тонов в пределах октавы: пентатоника, диатоника, хроматический ряд.
Длительность звука Информацию несет не темп речи или музыки, а отношение длительностей звуков. Ряд длительностей музыкальных нот образует геометрическую прогрессию со знаменателем 2.
Громкость звука За точку отсчета принимают средний порог слышимости. Тихий звук кажется более громким благодаря логарифмированию. Звуковое давление падает пропорционально квадрату расстояния от источника звука, но ощущается линейная зависимость.
Яркость света Слабый свет кажется более ярким благодаря логарифмированию. Яркость падает пропорционально квадрату расстояния от точечного источника света, но ощущается линейная зависимость.

Золотое сечение

Соотношение натурального логарифма с рядом Фибоначчи и «золотыми числами»\[\ln\sum_{i=0}^{N-1}{F_i}\approx\frac{N}{2}\]

\(N\) \(\sum_{i=0}^{N-1}{F_i}\) \(\ln\sum_{i=0}^{N-1}{F_i}\) ошибка
3 4 1,386 8%
4 7 1,946 3%
5 12 2,485 0,6%
6 20 2,996 0,1%
7 33 3,497 0,3%
8 54 3,989 0,3%
9 88 4,477 0,5%
10 143 4,963 0,7%

См. также


Предыдущая глава ( Золотое сечение ) Содержание книги Следующая глава ( Информатика )