Логарифмы и октавы
Предыдущая глава ( Золотое сечение ) | Содержание книги | Следующая глава ( Информатика ) |
Соответствующая статья Википедии: Логарифм
Определение
Пусть отрезок делится на две части в некоторой пропорции, не обязательно в золотой. Затем только одна определенная часть делится в той же пропорции, и так далее до бесконечности. На примере отрезок делится пополам, и далее его левая часть:
Полученный ряд длин отрезков \(y_i\) образует обычную геометрическую прогрессию: \[\frac{y_{i+1}}{y_i}=a\] \[\frac{y_{i+n}}{y_i}=a^n\] Для данного примера знаменатель \(a=2\).
Эта система отрезков обладает самоподобием, то есть ее части подобны целому, и целое может быть частью большего целого. Деление каждого частичного отрезка как целого, создает самоподобное фрактальное дерево. На рисунке показаны два уровня дерева:
Прогрессия \(y_i\) заменяется непрерывной функцией \(y(x)\): \[x=i+\frac{i_1}{N}+\frac{i_2}{N^2}+\dots\] \[y(x)=y_i+\frac{y_{i1}}{N}+\frac{y_{i2}}{N^2}+\dots\] Функция \(y(x)\) определяется для бесконечно малого приращения аргумента \(\Delta x\) через простую линейную зависимость: \[\frac{y(x+\Delta x)}{y(x)}=1+k\Delta x\] \[\frac{y(x+n\Delta x)}{y(x)}=(1+k\Delta x)^n\] Уникальное свойство производной этой функции следует из ее определения: \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=ky(x)\] Пусть некоторый интервал между двумя целыми величинами \((i,i+1)\) аргумента функции \(y(x)\) поделен на n равных частей, и: \[\Delta x=\frac{1}{n}\] Тогда при \(n\to\infty\), \(\Delta x\) становится бесконечно малым, и знаменатель прогрессии, учитывая 2-ой замечательный предел, выражается экспоненциальной функцией: \[a=\frac{y_{i+1}}{y_i}=\frac{y(x+1)}{y(x)}=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^n}=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^{\frac{n}{k}k}}=\mathrm{e}^k\] Натуральный логарифм, как известно – функция, обратная экспоненциальной функции: \[k=\ln a\] Производная логарифма также определяется через 2-ой замечательный предел: \[\frac{\mathrm{d}\ln x}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\] Изобретение логарифма позволило определить степень с дробным иррациональным показателем (показательную функцию), не имеющую геометрической интерпретации, такой как у квадрата и куба. Фракталы и логарифмы позволяют также ввести понятие о геометрии пространства дробной мерности.
Логарифмическая шкала
Логарифмическая шкала требует некоторой условной точки отсчета \(y_0=y(0)\), для перехода от относительных величин к абсолютным величинам любой физической размерности: \[y_i=y_0 a^i\] \[y(x)=y_0 a^x=y_0 \mathrm{e}^{kx}\] \[\frac{\ln(y/y_0)}{\ln a}=\log_a{\frac{y}{y_0}}\] Октава – интервал-отрезок на шкале частот колебаний, поделенной на октавы в геометрической прогрессии со знаменателем 2. Двоичный (по основанию 2) логарифм своей целой частью может указывать номер октавы, а дробной частью определять тон в ее шкале, циклически повторяющейся от одной октавы к другой.
Логарифмирование связано с различными законами живой природы:
Логарифмическая шкала | Описание |
---|---|
Высота тона звука | За точки отсчета принимают различные условные тона. Октава определена однозначно. Различают несколько вариантов шкал тонов в пределах октавы: пентатоника, диатоника, хроматический ряд. |
Длительность звука | Информацию несет не темп речи или музыки, а отношение длительностей звуков. Ряд длительностей музыкальных нот образует геометрическую прогрессию со знаменателем 2. |
Громкость звука | За точку отсчета принимают средний порог слышимости. Тихий звук кажется более громким благодаря логарифмированию. Звуковое давление падает пропорционально квадрату расстояния от источника звука, но ощущается линейная зависимость. |
Яркость света | Слабый свет кажется более ярким благодаря логарифмированию. Яркость падает пропорционально квадрату расстояния от точечного источника света, но ощущается линейная зависимость. |
Золотое сечение
Соотношение натурального логарифма с рядом Фибоначчи и «золотыми числами»\[\ln\sum_{i=0}^{N-1}{F_i}\approx\frac{N}{2}\]
\(N\) | \(\sum_{i=0}^{N-1}{F_i}\) | \(\ln\sum_{i=0}^{N-1}{F_i}\) | ошибка |
---|---|---|---|
3 | 4 | 1,386 | 8% |
4 | 7 | 1,946 | 3% |
5 | 12 | 2,485 | 0,6% |
6 | 20 | 2,996 | 0,1% |
7 | 33 | 3,497 | 0,3% |
8 | 54 | 3,989 | 0,3% |
9 | 88 | 4,477 | 0,5% |
10 | 143 | 4,963 | 0,7% |
См. также
Предыдущая глава ( Золотое сечение ) | Содержание книги | Следующая глава ( Информатика ) |