Волны

Материал из Alt-Sci
Версия от 09:39, 24 июля 2015; Admin (обсуждение | вклад) (Защищена страница «Волны» ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администра…)

Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Сплошная среда ) Содержание книги Следующая глава ( Вихрь )

Соответствующая статья Википедии: Волнa

Определение

Волны – колебания, распространяющиеся по сжимаемой или деформируемой сплошной среде с конечной скоростью. Сжатие (упругая деформация) среды должно вызывать в ней перепад давления или механическое напряжение.

Два вида волн:

Вид Направление колебаний Условия
Продольные (P) Вдоль движения. Сжимаемость среды.
Поперечные (S) Поперек движения. Касательные напряжения (например, ПАВ) или деформация в силовом поле (например, волны на поверхности жидкости).

Продольные волны

Подробно рассматриваются только продольные волны в однородной среде без силовых полей, как наиболее обобщенный вид волн, присущих также эфиру. Колебания плотности \(\delta\rho\) считаются пренебрежимо малыми в сравнении со средней плотностью \(\rho_0\). Среднее давление \(P_0\) постоянно. \[\rho=\rho_0+\delta\rho\;\;\;\;\;\delta\rho\ll\rho_0=const\] \[P=P_0+\delta P\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_0=const\] Уравнения непрерывности и Эйлера ("Сплошная среда", 1 и 2), пренебрегая \(\delta\rho\) в сумме с \(\rho_0\), имеют вид: \[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho_0div\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{1}\] \[\rho_0\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}+grad\;P=0\tag{2}\] Дифференцирование (1) по времени и подстановка \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}\) из (2) дает волновое уравнение, где \(\Delta=div\;grad\) (лапласиан): \[\frac{\partial^2\rho}{\partial t^2}+\rho_0div\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}=0\tag{3}\] \[\boxed{\partial^2\rho/\partial t^2-\Delta P=0}\tag{4}\] Общее решение волнового уравнения: \[\delta\rho=\sum\rho_A\psi(\mathbf{\overrightarrow{x}},t)\] \[\delta P=\sum P_A\psi(\mathbf{\overrightarrow{x}},t)\] Константы интегрирования входят в \(\rho_0\) и \(P_0\). Краевыми условиями определяются амплитуды \(\rho_A\) и \(P_A\).

Волны распространяются по принципу Гюйгенса-Френеля, то есть являются суммами вторичных волн, распространяющихся от фронта первичной волны. Функция волны, распространяющейся от координаты \(\mathbf{\overrightarrow{x_0}}\) имеет вид: \[\psi(\mathbf{\overrightarrow{x}},t)=\sin(\omega t-k|\mathbf{\overrightarrow{x}}-\mathbf{\overrightarrow{x_0}}|+\varphi_0)\]

Кинематические параметры волны
Формула Название Зависимость от системы отсчета
\[\omega\] Угловая (циклическая, круговая) частота в точке. Зависит
\[\nu=\frac{\omega}{2\pi}\] Частота в точке.
\[k\] Волновое число (пространственная частота). Не зависит
\[\lambda=\frac{2\pi}{k}\] Длина волны.
\[c=\frac{\omega}{k}=\lambda\nu\] Фазовая скорость – скорость движения фронта волны (точек в одной фазе). Зависит

Из подстановки общего решения в волновое уравнение следует: \[\rho_A\omega^2=P_Ak^2\] Фазовая скорость волны: \[c=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\frac{P_A}{\rho_A}}\tag{5}\] Из принципа Гюйгенса-Френеля следует, что границы раздела сред с различной фазовой скоростью волн являются отражающими и преломляющими поверхностями.

Поперечные волны

Поперечные волны отличаются от продольных волн направлением и многообразием происхождения сил, создающих давление (напряжение). Поперечные волны могут иметь поляризацию:

  • Плоская – колебания в одной плоскости.
  • Круговая (эллиптическая) – колебания в двух ортогональных плоскостях со сдвигом фаз под прямым углом. Вектор колеблющегося поля вращается в каждой точке и поворачивается по ходу волны.

Сосредоточенные колебания

Колебание – вырожденная волна, которая не распространяется в пространстве. Колебания возникают в неоднородных средах с сосредоточенными параметрами, например в маятнике и в электрическом колебательном контуре. Упругая деформация не обязательна для колебаний. Общее уравнение колебания параметра \(x\): \[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\omega^2x=f(x,t)\] Круговое (эллиптическое) движение – механические колебания в двух ортогональных плоскостях со сдвигом фаз под прямым углом. Угловая частота обоих колебаний равна угловой скорости движения.

Стоячие волны

Стоячая волна – две встречных волны одной длины на одной оси. Пример синфазных волн: \[\psi(x,t)+\psi(-x,t)=\sin(\omega t-kx)+\sin(\omega t+kx)=2\cos kx\sin\omega t\] Стоячие волны являются колебательными процессами, и их не надо путать с неподвижными волнами другого рода, возникающими при винтовом вихревом течении, и называемыми солитонами.

Количество стоячих волн в среде считают по полуволнам или по числу узлов/пучностей. Количество одномерных стоячих волн на отрезке длиной \(L\): \[n=L\frac{2}{\lambda}=L\frac{\omega}{\pi c}=L\frac{2\nu}{c}\] Поскольку волны распространяются кругами (сферами), то в случае двумерных стоячих волн на квадратной площади \(S\), число волн должно быть поправлено отношением площади круга к площади квадрата, описанного вокруг круга, равным \(\pi/4\): \[n=\frac{\pi}{4}S\frac{4}{\lambda^2}=S\frac{\pi}{\lambda^2}=S\frac{\omega^2}{4\pi c^2}=S\frac{\pi\nu^2}{c^2}\tag{6}\] Аналогично для трехмерных (в кубическом объеме \(V\)) стоячих волн – отношением объема шара к объему куба, описанного вокруг шара, равным \(\pi/6\): \[n=\frac{\pi}{6}V\frac{8}{\lambda^3}=V\frac{4\pi}{3\lambda^3}=V\frac{\omega^3}{6\pi^2c^3}=V\frac{4\pi\nu^3}{3c^3}\tag{7}\] Корректировки для (6) и (7) не потребовались бы при использовании гиперсферических единиц площади и объема.

Резонанс

Резонанс – возникновение стоячих волн с частотой, которую называют собственной. Резонанс сосредоточенных колебаний – свободные колебания с собственной частотой. Резонанс не является источником энергии, а лишь ее максимальным силовым проявлением.

См. также


Предыдущая глава ( Сплошная среда ) Содержание книги Следующая глава ( Вихрь )