Волны — различия между версиями
Admin (обсуждение | вклад) м (Защищена страница «Волны» ([Редактирование=Разрешено только администраторам] (бессрочно) [Переименование=Разрешено только администра…) |
Admin (обсуждение | вклад) (→Определение) |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
|- | |- | ||
|align="center"|[[wikipedia_ru:Продольные волны|Продольные (P)]] | |align="center"|[[wikipedia_ru:Продольные волны|Продольные (P)]] | ||
− | |Вдоль | + | |Вдоль распространения. |
|Сжимаемость среды. | |Сжимаемость среды. | ||
|- | |- | ||
|align="center"|[[wikipedia_ru:Поперечная волна|Поперечные (S)]] | |align="center"|[[wikipedia_ru:Поперечная волна|Поперечные (S)]] | ||
− | |Поперек | + | |Поперек распространения. |
|[[wikipedia_ru:Напряжение сдвига|Касательные напряжения]] (например, [[wikipedia_ru:Поверхностные акустические волны|ПАВ]]) или деформация в силовом поле (например, волны на поверхности жидкости). | |[[wikipedia_ru:Напряжение сдвига|Касательные напряжения]] (например, [[wikipedia_ru:Поверхностные акустические волны|ПАВ]]) или деформация в силовом поле (например, волны на поверхности жидкости). | ||
|} | |} | ||
+ | |||
==Продольные волны== | ==Продольные волны== | ||
Подробно рассматриваются только продольные волны в однородной среде без силовых полей, как наиболее обобщенный вид волн, присущих также [[Эфирная теория|эфиру]]. Колебания плотности <math>\delta\rho</math> считаются пренебрежимо малыми в сравнении со средней плотностью <math>\rho_0</math>. Среднее давление <math>P_0</math> постоянно. | Подробно рассматриваются только продольные волны в однородной среде без силовых полей, как наиболее обобщенный вид волн, присущих также [[Эфирная теория|эфиру]]. Колебания плотности <math>\delta\rho</math> считаются пренебрежимо малыми в сравнении со средней плотностью <math>\rho_0</math>. Среднее давление <math>P_0</math> постоянно. |
Текущая версия на 07:54, 10 августа 2016
Предыдущая глава ( Сплошная среда ) | Содержание книги | Следующая глава ( Вихрь ) |
Соответствующая статья Википедии: Волнa
Содержание
Определение
Волны – колебания, распространяющиеся по сжимаемой или деформируемой сплошной среде с конечной скоростью. Сжатие (упругая деформация) среды должно вызывать в ней перепад давления или механическое напряжение.
Два вида волн:
Вид | Направление колебаний | Условия |
---|---|---|
Продольные (P) | Вдоль распространения. | Сжимаемость среды. |
Поперечные (S) | Поперек распространения. | Касательные напряжения (например, ПАВ) или деформация в силовом поле (например, волны на поверхности жидкости). |
Продольные волны
Подробно рассматриваются только продольные волны в однородной среде без силовых полей, как наиболее обобщенный вид волн, присущих также эфиру. Колебания плотности \(\delta\rho\) считаются пренебрежимо малыми в сравнении со средней плотностью \(\rho_0\). Среднее давление \(P_0\) постоянно. \[\rho=\rho_0+\delta\rho\;\;\;\;\;\delta\rho\ll\rho_0=const\] \[P=P_0+\delta P\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P_0=const\] Уравнения непрерывности и Эйлера ("Сплошная среда", 1 и 2), пренебрегая \(\delta\rho\) в сумме с \(\rho_0\), имеют вид: \[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho_0div\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{1}\] \[\rho_0\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}+grad\;P=0\tag{2}\] Дифференцирование (1) по времени и подстановка \(\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}\) из (2) дает волновое уравнение, где \(\Delta=div\;grad\) (лапласиан): \[\frac{\partial^2\rho}{\partial t^2}+\rho_0div\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}=0\tag{3}\] \[\boxed{\partial^2\rho/\partial t^2-\Delta P=0}\tag{4}\] Общее решение волнового уравнения: \[\delta\rho=\sum\rho_A\psi(\mathbf{\overrightarrow{x}},t)\] \[\delta P=\sum P_A\psi(\mathbf{\overrightarrow{x}},t)\] Константы интегрирования входят в \(\rho_0\) и \(P_0\). Краевыми условиями определяются амплитуды \(\rho_A\) и \(P_A\).
Волны распространяются по принципу Гюйгенса-Френеля, то есть являются суммами вторичных волн, распространяющихся от фронта первичной волны. Функция волны, распространяющейся от координаты \(\mathbf{\overrightarrow{x_0}}\) имеет вид: \[\psi(\mathbf{\overrightarrow{x}},t)=\sin(\omega t-k|\mathbf{\overrightarrow{x}}-\mathbf{\overrightarrow{x_0}}|+\varphi_0)\]
Формула | Название | Зависимость от системы отсчета |
---|---|---|
\[\omega\] | Угловая (циклическая, круговая) частота в точке. | Зависит |
\[\nu=\frac{\omega}{2\pi}\] | Частота в точке. | |
\[k\] | Волновое число (пространственная частота). | Не зависит |
\[\lambda=\frac{2\pi}{k}\] | Длина волны. | |
\[c=\frac{\omega}{k}=\lambda\nu\] | Фазовая скорость – скорость движения фронта волны (точек в одной фазе). | Зависит |
Из подстановки общего решения в волновое уравнение следует: \[\rho_A\omega^2=P_Ak^2\] Фазовая скорость волны: \[c=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\frac{P_A}{\rho_A}}\tag{5}\] Из принципа Гюйгенса-Френеля следует, что границы раздела сред с различной фазовой скоростью волн являются отражающими и преломляющими поверхностями.
Поперечные волны
Поперечные волны отличаются от продольных волн направлением и многообразием происхождения сил, создающих давление (напряжение). Поперечные волны могут иметь поляризацию:
- Плоская – колебания в одной плоскости.
- Круговая (эллиптическая) – колебания в двух ортогональных плоскостях со сдвигом фаз под прямым углом. Вектор колеблющегося поля вращается в каждой точке и поворачивается по ходу волны.
Сосредоточенные колебания
Колебание – вырожденная волна, которая не распространяется в пространстве. Колебания возникают в неоднородных средах с сосредоточенными параметрами, например в маятнике и в электрическом колебательном контуре. Упругая деформация не обязательна для колебаний. Общее уравнение колебания параметра \(x\): \[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\omega^2x=f(x,t)\] Круговое (эллиптическое) движение – механические колебания в двух ортогональных плоскостях со сдвигом фаз под прямым углом. Угловая частота обоих колебаний равна угловой скорости движения.
Стоячие волны
Стоячая волна – две встречных волны одной длины на одной оси. Пример синфазных волн: \[\psi(x,t)+\psi(-x,t)=\sin(\omega t-kx)+\sin(\omega t+kx)=2\cos kx\sin\omega t\] Стоячие волны являются колебательными процессами, и их не надо путать с неподвижными волнами другого рода, возникающими при винтовом вихревом течении, и называемыми солитонами.
Количество стоячих волн в среде считают по полуволнам или по числу узлов/пучностей. Количество одномерных стоячих волн на отрезке длиной \(L\): \[n=L\frac{2}{\lambda}=L\frac{\omega}{\pi c}=L\frac{2\nu}{c}\] Поскольку волны распространяются кругами (сферами), то в случае двумерных стоячих волн на квадратной площади \(S\), число волн должно быть поправлено отношением площади круга к площади квадрата, описанного вокруг круга, равным \(\pi/4\): \[n=\frac{\pi}{4}S\frac{4}{\lambda^2}=S\frac{\pi}{\lambda^2}=S\frac{\omega^2}{4\pi c^2}=S\frac{\pi\nu^2}{c^2}\tag{6}\] Аналогично для трехмерных (в кубическом объеме \(V\)) стоячих волн – отношением объема шара к объему куба, описанного вокруг шара, равным \(\pi/6\): \[n=\frac{\pi}{6}V\frac{8}{\lambda^3}=V\frac{4\pi}{3\lambda^3}=V\frac{\omega^3}{6\pi^2c^3}=V\frac{4\pi\nu^3}{3c^3}\tag{7}\] Корректировки для (6) и (7) не потребовались бы при использовании гиперсферических единиц площади и объема.
Резонанс
Резонанс – возникновение стоячих волн с частотой, которую называют собственной. Резонанс сосредоточенных колебаний – свободные колебания с собственной частотой. Резонанс не является источником энергии, а лишь ее максимальным силовым проявлением.
См. также
Предыдущая глава ( Сплошная среда ) | Содержание книги | Следующая глава ( Вихрь ) |