Вихрь

Материал из Alt-Sci
Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Волны ) Содержание книги Следующая глава ( Винт и спираль )

Соответствующая статья Википедии: Вихревое движение


Вихрь – круговое движение в сплошной среде. Известная теория вихрей применима только для 3-мерного пространства, так как использует формулы дифференцирования произведений полей.

Мерой завихренности является ротор поля скорости. По одному из определений ротора через циркуляцию, выбирая в качестве контура окружность радиусом \(r\), ротор принимает вид: \[rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=\lim_{S\to 0}\frac{1}{S}\oint{\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\alpha}=\frac{1}{\pi}\lim_{r\to 0}\oint{\frac{\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathbf{\overrightarrow{v}}}{r^2}\mathrm{d}\alpha}\tag{1}\] Тогда с учетом кинематической формулы \(\mathbf{\overrightarrow{\omega}}=(\mathbf{\overrightarrow{r}}\times\mathbf{\overrightarrow{v}})/r^2\), ротор поля скорости равен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малого элемента среды: \[rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=2\mathbf{\overrightarrow{\omega}}\tag{2}\] Уравнение Эйлера ("Сплошная среда", 4) с применением известного тождества \((\mathbf{\overrightarrow{v}}\cdot\nabla)\mathbf{\overrightarrow{v}}=\frac{1}{2}grad\;v^2-\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\), преобразуется в уравнение Громеки-Лэмба: \[\rho\frac{\partial\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\partial t}+\frac{\rho}{2}grad\;v^2-\rho\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}+grad(P+U)=\rho\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{3}\] \[\frac{\partial\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\partial t}+\frac{1}{2}grad\;v^2-\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}+\frac{1}{\rho}grad(P+U)=\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{4}\] Применение оператора ротора к (4), с учетом свойства \(rot\;grad\;X=0\), дает: \[\frac{\partial}{\partial t}rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}-rot(\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}})+grad\frac{1}{\rho}\times grad(P+U)=rot\,\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{5}\] Строгая теория вихрей применима либо для несжимаемых жидкостей (\(\rho=const\)), либо для баротропных газов. Для обоих случаев уравнение (5) преобразуется в уравнение, независимое от плотности и давления: \[\frac{\partial}{\partial t}rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}-rot(\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}})=rot\,\mathbf{\overrightarrow{f}}\tag{6}\] Таким образом, вихревое силовое поле (\(rot\,\mathbf{\overrightarrow{f}}\neq 0\)) вызывает завихрение частиц среды. Оно естественно вызывает ускоренное круговое движение, и поэтому в стационарном уравнении (6), \(rot\,\mathbf{\overrightarrow{f}}=0\): \[rot(\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}})=0\tag{7}\] Стационарное уравнение неразрывности ("Сплошная среда", 5) имеет вид: \[div\;\rho\mathbf{\overrightarrow{v}}=\mathbf{\overrightarrow{v}}grad\;\rho+\rho\;div\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{8}\] Для несжимаемых жидкостей (\(grad\;\rho=0\)) поле скоростей вихревое (\(div\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\)). Поле скоростей газа также вихревое, если его плотность постоянна вдоль течения: \[\mathbf{\overrightarrow{v}}grad\;\rho=0\tag{9}\] В итоге, стабильный (стационарный) вихрь, в общем, описывается системой уравнений:

  • Кинематическое уравнение (7).
  • Уравнение равновесия сил давления, центробежных и потенциальных сил (зависит от свойств среды).

В вихрях центробежная сила уравновешивается силой градиента статического давления, которое падает по направлению к центру вихря по причине роста скорости и динамического давления.

Потенциальные силы и силы давления формируют вихрь, а также вызывают его движение в среде. Это утверждение следует из основной теоремы Кельвина, согласно которой циркуляция по любому контуру под действием сил не меняется и, следовательно, энергия сил может направиться на изменение скорости вихря в целом: \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint{\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\oint{\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=-\oint{\frac{1}{\rho}grad(P+U)\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=0\tag{10}\]

Для баротропного газа: \[\oint{\frac{1}{\rho}grad(P+U)\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\oint{\frac{1}{\rho}grad\;f(\rho)\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\oint{\frac{\mathrm{d}f(\rho)}{\rho\mathrm{d}\rho}grad\;\rho\;\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\oint{\frac{\mathrm{d}f^*(\rho)}{\mathrm{d}\rho}grad\;\rho\;\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\oint{grad\;f^*(\rho)\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=0\tag{11}\]

При доказательстве (10) используется кинематическая теорема Кельвина: \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint{\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=\oint{\frac{\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{v}}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}\tag{12}\] Линия тока – линия, касательная к которой параллельна вектору скорости в данной точке. Закон Бернулли следует из (3) и справедлив для любой линии тока, так как параметры вдоль нее являются функцией одной координаты, а силовой вектор \(\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\) всегда направлен перпендикулярно движению, не вызывая касательного ускорения.

Вихревая линия – линия, касательная к которой параллельна вектору ротора скорости в данной точке. Закон Бернулли аналогично справедлив для любой вихревой линии.

Вихревая трубка – поверхность, образованная вихревыми линиями. Пример вихревой трубки – внутренняя поверхность вихря в жидкости или газе с максимальной скоростью на ней и покоящейся средой внутри.

Поток ротора скорости через замкнутую поверхность трубки: \[\oint{rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\int_{S_1}{rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}-\int_{S_2}{rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}\tag{13}\] где \(S_1\) и \(S_2\) – сечения трубки. В то же время поток ротора через любую замкнутую поверхность, согласно теореме Остроградского-Гаусса и свойству \(div\;rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\), равен нулю: \[\oint{rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\oint{div\;rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}V}=0\tag{14}\] Таким образом, поток ротора скорости через любое сечение трубки постоянен по всей ее длине и, согласно формуле Стокса, равен циркуляции скорости по контуру сечения: \[\int{rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{S}}}=\oint{\mathbf{\overrightarrow{v}}\mathrm{d}\mathbf{\overrightarrow{l}}}=const\tag{15}\] Утверждение (15) известно как 2-я теорема Гельмгольца, из которой следует:

  • Скорость течения по поверхности трубки обратно пропорциональна длине или радиусу контура ее сечения.
  • Возможно непрерывное винтовое течение вдоль трубки любой формы.
  • Трубка непрерывна в пределах границ среды. Стабильные вихри либо находятся между границами раздела сред, либо замкнуты в кольцо.

Воронка – типичный вихрь, возникающий, например, при сливе жидкости из резервуара через узкое отверстие на дне. Скорость потока повышается по мере приближения к отверстию, и слабое вращение массы жидкости вокруг него способно развиться в сильный вихрь.

Кольцевой вихрь – вихрь, замкнутый в кольцевое тело вращения. В общем случае, образующая и направляющая тела вращения имеют любую форму. Кольцевой вихрь – единственная возможная форма стабильного вихря, способного не потреблять энергию извне. В реальных жидкостях и газах вязкое трение рассеивает энергию вихрей, и они затухают. Линии тока кольцевого вихря могут быть:

  • Круговые, вдоль образующей кольцевого тела вращения. Такие вихри образуются в жидкостях и газах под действием струи. Например, сравнительно стабильные дымовые кольца образуются при выходе струи дыма через узкое отверстие.
  • Винтовые, состоящие из движения как вдоль образующей, так и вдоль направляющей.

«Буря в стакане воды». Пример стакана с чаем.

Вращение жидкости в стакане вызывает в ней центробежные силы и повышение давления у стенок стакана. На определенной скорости возникает кольцевой вихрь цилиндрической формы, поднимающий со дна то, что тяжелее жидкости (чаинки).

Направление течения вдоль образующей кольцевого вихря определяется разностью давлений. Наибольшее давление всегда на краю дна стакана, складываясь из давления столба жидкости и давления стенок стакана. Если давление стенок достаточно велико, то течение может направиться от края дна к его середине, поднимаясь вверх по оси вращения и стекая вдоль стенок стакана.

Затухающий вихрь вызывает скопление тяжелых предметов (чаинок) на середине дна, так как сила течения еще достаточна для перемещения предметов по дну, но уже недостаточна для подъема их со дна.

См. также


Предыдущая глава ( Волны ) Содержание книги Следующая глава ( Винт и спираль )