Винт и спираль
Предыдущая глава ( Вихрь ) | Содержание книги | Следующая глава ( Кольцо ) |
Из уравнения ("Вихрь", 7) следует простое условие стационарности вихря: \[\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{1}\] \[rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{2}\] Движение с таким условием выглядит как винтовое (спиральное) течение и называется течением Бельтрами или ABC (Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса). Винтовое течение также, независимо от перечисленных авторов, наиболее подробно описал Громека[1].
Очевидные свойства винтового течения:
- Вихревые линии совпадают с линиями тока (векторы коллинеарны).
- Константа в законе Бернулли едина для всей среды, то есть на любой линии действует одно и то же уравнение Бернулли, что следует из уравнения Громеки-Лэмба ("Вихрь", 3).
Для однородного винтового течения (\(k=const\)) условие (2) после применения к нему оператора ротора и известной формулы векторного анализа, принимает вид: \[rot\;rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\;rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{3}\] \[grad\;div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}-\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}=k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{4}\] Отсюда для установившегося вихря (\(div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\)) несжимаемой или баротропной сжимаемой жидкости (газа) справедливо волновое уравнение Гельмгольца: \[\boxed{\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}+k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}=0}\tag{5}\] Данное эллиптическое уравнение имеет несколько решений, описывающих нечто подобное волне с волновым числом \(\approx k\), движущейся с произвольной скоростью, не исключая нулевую скорость. Такую волну называют солитон.
Для винтового течения вдоль одной оси найдено одно из простых решений в цилиндрических координатах \((r,\theta,z)\)[1]:
\[v_r=0\]
\[v_\theta=CJ_1(kr)\]
\[v_z=CJ_0(kr)\]
где \(C\) – константа, зависящая от расхода жидкости (газа);
\(J_0, J_1\) – функции Бесселя 1-го рода.
На приведенном примере видно, что скорость течения не только падает по мере удаления от оси винта, но может менять направление.
Труба Ранке-Хилша демонстрирует эффект смены направления. Быстрый холодный воздух направляется в одну сторону из центра вихря, а медленный горячий в другую сторону с периферии вихря.
Оптимальный угол закрутки может минимизировать скорость течения у стенок трубопровода, снижая потери энергии на трение. Примеры:
- Винтовое течение в аорте снижает нагрузку на сердце.
- Геликоид – спиральный профиль трубы с минимальным сопротивлением течению, повторяющий форму речного русла, как объясняет автор изобретения В. Шаубергер.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Громека И.С., Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости (докторская диссертация), Отд. изд. Казань, 1881, 107 стр.; Громека И.С., Собрание трудов, Москва: АН СССР, 1952, с.76-148.
Предыдущая глава ( Вихрь ) | Содержание книги | Следующая глава ( Кольцо ) |