Винт и спираль

Материал из Alt-Sci
Перейти к: навигация, поиск
Предыдущая глава ( Вихрь ) Содержание книги Следующая глава ( Кольцо )

Из уравнения ("Вихрь", 7) следует простое условие стационарности вихря: \[\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{1}\] \[rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{2}\] Движение с таким условием выглядит как винтовое (спиральное) течение и называется течением Бельтрами или ABC (Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса). Винтовое течение также, независимо от перечисленных авторов, наиболее подробно описал Громека[1].

Очевидные свойства винтового течения:

Для однородного винтового течения (\(k=const\)) условие (2) после применения к нему оператора ротора и известной формулы векторного анализа, принимает вид: \[rot\;rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\;rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{3}\] \[grad\;div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}-\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}=k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{4}\] Отсюда для установившегося вихря (\(div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\)) несжимаемой или баротропной сжимаемой жидкости (газа) справедливо волновое уравнение Гельмгольца: \[\boxed{\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}+k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}=0}\tag{5}\] Данное эллиптическое уравнение имеет несколько решений, описывающих нечто подобное волне с волновым числом \(\approx k\), движущейся с произвольной скоростью, не исключая нулевую скорость. Такую волну называют солитон.

Для винтового течения вдоль одной оси найдено одно из простых решений в цилиндрических координатах \((r,\theta,z)\)[1]: \[v_r=0\] \[v_\theta=CJ_1(kr)\] \[v_z=CJ_0(kr)\] где \(C\) – константа, зависящая от расхода жидкости (газа);
\(J_0, J_1\) – функции Бесселя 1-го рода.

На приведенном примере видно, что скорость течения не только падает по мере удаления от оси винта, но может менять направление.

Труба Ранке-Хилша демонстрирует эффект смены направления. Быстрый холодный воздух направляется в одну сторону из центра вихря, а медленный горячий в другую сторону с периферии вихря.

Оптимальный угол закрутки может минимизировать скорость течения у стенок трубопровода, снижая потери энергии на трение. Примеры:

  • Винтовое течение в аорте снижает нагрузку на сердце.
  • Геликоид – спиральный профиль трубы с минимальным сопротивлением течению, повторяющий форму речного русла, как объясняет автор изобретения В. Шаубергер.

См. также

Примечания

  1. 1,0 1,1 Громека И.С., Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости (докторская диссертация), Отд. изд. Казань, 1881, 107 стр.; Громека И.С., Собрание трудов, Москва: АН СССР, 1952, с.76-148.

Предыдущая глава ( Вихрь ) Содержание книги Следующая глава ( Кольцо )