Винт и спираль — различия между версиями
Admin (обсуждение | вклад) (Новая страница: «en:Helix and spiral {{Book_page|Вихрь|Физика|Кольцо}} ----- Из уравнения Гельмгольца (Вихрь#Eq-7|"Вихрь", 7…») |
Admin (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
{{Book_page|Вихрь|Физика|Кольцо}} | {{Book_page|Вихрь|Физика|Кольцо}} | ||
----- | ----- | ||
| − | Из уравнения | + | Из уравнения ([[Вихрь#Eq-7|"Вихрь", 7]]) следует простое условие стационарности вихря: |
| − | :<math>\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\label{ABC_1}</math> | + | :<math>\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\label{ABC_1}</math> |
| − | :<math>rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\mathbf{\overrightarrow{v}}\label{ABC_2}</math> | + | :<math>rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\mathbf{\overrightarrow{v}}\label{ABC_2}</math> |
| − | Движение с таким условием выглядит как винтовое (спиральное) течение | + | Движение с таким условием выглядит как винтовое (спиральное) течение и называется течением Бельтрами или ABC (Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса). Винтовое течение также, независимо от перечисленных авторов, наиболее подробно описал Громека<ref name="gromeka_fluid"></ref>. |
Очевидные свойства винтового течения: | Очевидные свойства винтового течения: | ||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
* Константа в [[Сплошная среда#Закон Бернулли|законе Бернулли]] едина для всей среды, то есть на любой линии действует одно и то же уравнение Бернулли, что следует из уравнения Громеки-Лэмба ([[Вихрь#Eq-3|"Вихрь", 3]]). | * Константа в [[Сплошная среда#Закон Бернулли|законе Бернулли]] едина для всей среды, то есть на любой линии действует одно и то же уравнение Бернулли, что следует из уравнения Громеки-Лэмба ([[Вихрь#Eq-3|"Вихрь", 3]]). | ||
| − | Для однородного винтового течения (<math>k=const</math>) условие \ref{ABC_2} после применения к нему оператора ротора и известной [[Физическое поле#Формулы векторного анализа|формулы векторного анализа]] | + | Для однородного винтового течения (<math>k=const</math>) условие \ref{ABC_2} после применения к нему оператора ротора и известной [[Физическое поле#Формулы векторного анализа|формулы векторного анализа]] принимает вид: |
| − | :<math>rot\;rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\;rot\mathbf{\overrightarrow{v}}\label{Helmholtz_wave_2}</math> | + | :<math>rot\;rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\;rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\label{Helmholtz_wave_2}</math> |
| − | :<math>grad\;div\mathbf{\overrightarrow{v}}-\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}=k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}\label{Helmholtz_wave_1}</math> | + | :<math>grad\;div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}-\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}=k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}\label{Helmholtz_wave_1}</math> |
| − | Отсюда для установившегося вихря (<math>div\mathbf{\overrightarrow{v}}=0</math>) несжимаемой или баротропной сжимаемой жидкости (газа) справедливо [[wikipedia_ru:Уравнение Гельмгольца|волновое уравнение Гельмгольца]]: | + | Отсюда для установившегося вихря (<math>div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0</math>) несжимаемой или баротропной сжимаемой жидкости (газа) справедливо [[wikipedia_ru:Уравнение Гельмгольца|волновое уравнение Гельмгольца]]: |
:<math>\boxed{\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}+k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}=0}\label{Helmholtz_wave}</math> | :<math>\boxed{\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}+k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}=0}\label{Helmholtz_wave}</math> | ||
Данное [[wikipedia_ru:Эллиптические уравнения|эллиптическое уравнение]] имеет несколько решений, описывающих нечто подобное [[Волны|волне]] с [[wikipedia_ru:Волновое число|волновым числом]] <math>\approx k</math>, движущейся с произвольной скоростью, не исключая нулевую скорость. Такую волну называют [[wikipedia_ru:Солитон|солитон]]. | Данное [[wikipedia_ru:Эллиптические уравнения|эллиптическое уравнение]] имеет несколько решений, описывающих нечто подобное [[Волны|волне]] с [[wikipedia_ru:Волновое число|волновым числом]] <math>\approx k</math>, движущейся с произвольной скоростью, не исключая нулевую скорость. Такую волну называют [[wikipedia_ru:Солитон|солитон]]. | ||
| Строка 27: | Строка 27: | ||
На приведенном примере видно, что скорость течения не только падает по мере удаления от оси винта, но может менять направление. | На приведенном примере видно, что скорость течения не только падает по мере удаления от оси винта, но может менять направление. | ||
| − | [[wikipedia_ru:Вихревой эффект|Труба Ранке-Хилша]] демонстрирует эффект смены направления. Быстрый холодный воздух направляется в одну сторону из центра вихря, а медленный горячий в другую сторону с периферии вихря. | + | [[wikipedia_ru:Вихревой эффект|Труба Ранке-Хилша]] демонстрирует эффект смены направления. Быстрый холодный воздух направляется в одну сторону из центра вихря, а медленный горячий – в другую сторону с периферии вихря. |
Оптимальный угол закрутки может минимизировать скорость течения у стенок трубопровода, снижая потери энергии на трение. Примеры: | Оптимальный угол закрутки может минимизировать скорость течения у стенок трубопровода, снижая потери энергии на трение. Примеры: | ||
* Винтовое течение в [[wikipedia_ru:Аорта|аорте]] снижает нагрузку на сердце. | * Винтовое течение в [[wikipedia_ru:Аорта|аорте]] снижает нагрузку на сердце. | ||
| − | * [[Жидкостные вихри|Геликоид]] – спиральный профиль трубы с минимальным сопротивлением течению, повторяющий форму речного русла, как объясняет автор изобретения [[wikipedia_ru:Шаубергер, Виктор|В. Шаубергер]]. | + | * [[Жидкостные вихри|Геликоид]] – спиральный профиль трубы с минимальным сопротивлением течению, повторяющий форму речного русла, как объясняет автор изобретения – [[wikipedia_ru:Шаубергер, Виктор|В. Шаубергер]]. |
==См. также== | ==См. также== | ||
Текущая версия на 06:49, 31 августа 2016
| Предыдущая глава ( Вихрь ) | Содержание книги | Следующая глава ( Кольцо ) |
Из уравнения ("Вихрь", 7) следует простое условие стационарности вихря: \[\mathbf{\overrightarrow{v}}\times rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\tag{1}\] \[rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{2}\] Движение с таким условием выглядит как винтовое (спиральное) течение и называется течением Бельтрами или ABC (Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса). Винтовое течение также, независимо от перечисленных авторов, наиболее подробно описал Громека[1].
Очевидные свойства винтового течения:
- Вихревые линии совпадают с линиями тока (векторы коллинеарны).
- Константа в законе Бернулли едина для всей среды, то есть на любой линии действует одно и то же уравнение Бернулли, что следует из уравнения Громеки-Лэмба ("Вихрь", 3).
Для однородного винтового течения (\(k=const\)) условие (2) после применения к нему оператора ротора и известной формулы векторного анализа принимает вид: \[rot\;rot\mathbf{\overrightarrow{v}}=k\;rot\,\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{3}\] \[grad\;div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}-\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}=k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}\tag{4}\] Отсюда для установившегося вихря (\(div\,\mathbf{\overrightarrow{v}}=0\)) несжимаемой или баротропной сжимаемой жидкости (газа) справедливо волновое уравнение Гельмгольца: \[\boxed{\Delta\mathbf{\overrightarrow{v}}+k^2\mathbf{\overrightarrow{v}}=0}\tag{5}\] Данное эллиптическое уравнение имеет несколько решений, описывающих нечто подобное волне с волновым числом \(\approx k\), движущейся с произвольной скоростью, не исключая нулевую скорость. Такую волну называют солитон.
Для винтового течения вдоль одной оси найдено одно из простых решений в цилиндрических координатах \((r,\theta,z)\)[1]:
\[v_r=0\]
\[v_\theta=CJ_1(kr)\]
\[v_z=CJ_0(kr)\]
где \(C\) – константа, зависящая от расхода жидкости (газа);
\(J_0, J_1\) – функции Бесселя 1-го рода.
На приведенном примере видно, что скорость течения не только падает по мере удаления от оси винта, но может менять направление.
Труба Ранке-Хилша демонстрирует эффект смены направления. Быстрый холодный воздух направляется в одну сторону из центра вихря, а медленный горячий – в другую сторону с периферии вихря.
Оптимальный угол закрутки может минимизировать скорость течения у стенок трубопровода, снижая потери энергии на трение. Примеры:
- Винтовое течение в аорте снижает нагрузку на сердце.
- Геликоид – спиральный профиль трубы с минимальным сопротивлением течению, повторяющий форму речного русла, как объясняет автор изобретения – В. Шаубергер.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Громека И.С., Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости (докторская диссертация), Отд. изд. Казань, 1881, 107 стр.; Громека И.С., Собрание трудов, Москва: АН СССР, 1952, с.76-148.
| Предыдущая глава ( Вихрь ) | Содержание книги | Следующая глава ( Кольцо ) |
